Стисла теоретична довідка. При періодичних (сезонних) коливаннях обсягів перевезень і вантажообігу шукану

При періодичних (сезонних) коливаннях обсягів перевезень і вантажообігу шукану функцію, що виражає змінювання досліджуваних показників у часі, подають нескінченим рядом синусоїдних і косинусоїдних функцій з певним періодом (рядом Фур’є).

Кожен член суми є гармонікою, причому період першої гармоніки дорівнює довжині заданого основного періоду, другої – половині основного періоду, третьої – третині основного періоду і т.д.

У загальному випадку, якщо є п спостережень, то кількість гармонік k не перевищує . Відповідні їм значення функції записуються сумою

, (2.1)

де п – повний період (загальна кількість спостережень);

k – номер гармоніки.

Використовуючи метод найменших квадратів, параметри ряду Фур’є визначають за формулами.

; (2.2)

; (2.3)

. (2.4)

Для зручності розрахунків основний період доцільно поділити на 12 частин. Тоді для окремих часових періодів величина змінної в формулах (2.3) і (2.4) приймає значення, наведені в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 – Величина змінної

t

z

Приймаючи кількість гармонік k = 1, 2, 3, … визначають всі значення sin(kz) і cos(kz) (таблиця 2.2).

Таблиця 2.2 – Значення sin(kz) і cos(kz) для т = 6 гармонік

t	sin(kz)	cos(kz)
k	k
	0,500	0,866		0,866	0,500		0,866	0,500		-0,500	-0,866	-1
	0,866	0,866		-0,866	-0,866		0,500	-0,500	-1	-0,500	0,500
	1,000	0,000	-1	0,000	1,000		0,000	-1,000		1,000	0,000	-1
	0,866	-0,866		0,866	-0,866		-0,500	-0,500		-0,500	-0,500
	0,500	-0,866		-0,866	0,500		-0,866	0,500		-0,500	0,866	-1
	1,000	0,000		0,000	0,000		-1,000	1,000	-1	1,000	-1,000
	-0,500	0,866	-1	0,866	-0,500		-0,866	0,500		-0,500	0,866	-1
	-0,866	0,866		-0,866	0,866		-0,500	-0,500		-0,500	-0,500
	-1,000	0,000		0,000	-1,000		0,000	-1,000		1,000	0,000	-1
	-0,866	-0,866		0,866	0,866		0,500	-0,500	-1	-0,500	0,500
	-0,500	-0,866	-1	-0,866	-0,500		0,866	0,500		-0,500	-0,866	-1
	0,000	0,000		0,000	0,000		1,000	1,000		1,000	1,000

Наприклад, перша гармоніка ряду Фур’є

,

де ; ; .

Ряд Фур’є з двома гармоніками має вигляд

.

Тут ; .

Кількість гармонік k, яка включається в математичну модель, визначається мінімальним значенням основної похибки моделі

, (2.5)

де y_t – фактичні значення показника;

– теоретичні значення показника, обчислені з використанням гармонічного ряду;

п – кількість спостережень.

Дата добавления: 2015-07-20