Теорема бетти

Цель работы:

Экспериментальная проверка теоремы о взаимности работ.

Общие сведения

Теорема о взаимности работ относится к числу общих теорем сопротивления материалов. Эта теорема вытекает из принципа независимости действия сил и применима ко всем системам, для которых соблюдается этот принцип.

Рассмотрим упругую балку на двух опорах в двух состояниях (рис.1). В первом состоянии балка нагружена силой P_i в сечении i (рис. 1, а), а во втором – силой P_k в сечении k (рис. 1, б).

Точка «k» под действием силы P_i (I состояние) получит перемещение D _ki, а точка «i» под действием силы P_k (II состояние) получит перемещение D _ik. Применительно к указанным видам нагружения теорема о взаимности работ запишется следующим образом:

Теорема формулируется следующим образом: возможная работа силы первого состояния P_i на перемещении D _ik по ее направлению, вызванному силой второго состояния, равна возможной работе силы второго состояния P_k на перемещении D _ki по ее направлению, вызванному силой первого состояния.

Эта теорема приобретает большую общность, если учесть, что под силами P_i и P_k можно понимать обобщенные силы, а под D _ik, D _ki – обобщенными перемещениями.

Приложим во II состоянии балки сосредоточенный момент M_k (рис. 2, б), тогда вместо линейного перемещения D _ki необходимо рассматривать угол поворота j _ki (рис. 2, а).

Теорема о взаимности работ запишется в этом случае так:

Опытная проверка теоремы о взаимности работ по формуле (2) проводится на балке, имеющей консоль длиной a на правом конце и вертикальный стержень длиной b на левой опоре (рис. 3). Вертикальный стержень b жестко связан с балкой и перпендикулярен к ней.

Порядок выполнения работы

1. Замерить длину консоли a и расстояние b между осью балки и острием индикатора (рис. 3, а).

2. В ненагруженном состоянии балки записать показание n_k0 по шкале индикатора, установленного на стержне b.

3. Подвесить груз P_i в сечении i и записать новое показание n_{k 1} индикатора.

4. Вычислить разность показаний индикатора для нагруженного и ненагруженного состояний балки D n_k = n_{k 1} - n_{k 0}.

5. Определить угол поворота сечения k:

,

так как tgj _ki» j _ki ввиду малости угла.

6. В ненагруженном состоянии балки записать показания n_{i 0} по шкале индикатора, установленного в сечении i.

7. Приложить в сечении А груз P, который образует момент М_к = Ра и записать новое показание индикатора n_{i 1}.

8. Вычислить разность показаний индикатора

D _ik = D n_i = n_{i 1} - n_{i 0}.

9. Определить величины произведений P_i D _ik и М_к j _ki.

10. Определить процент расхождения между указанными величинами.

11. Оформить отчет по прилагаемой форме.

Дата добавления: 2015-07-25