Читайте также:
|
Теорема Коши (основная теорема о вычетах). Если функция 
аналитична на границе 
области 
и внутри области, за исключением конечного числа изолированных особых точек 
, то
(76)
Замечание. Теорему Коши о вычетах удобно использовать, когда внутри контура интегрирования находится небольшое число особых точек.
Пример 1. Вычислить интеграл 
, где 
.
Особыми точками подынтегральной функции являются 
– полюс второго порядка, 
– полюсы первого порядка. Внутри окружности 
(рисунок 16) лежит лишь точка . Поэтому по формуле (76)
.
Рисунок 16
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
В области 
функция 
имеет две особые точки: 
– полюс первого порядка и 
– существенно особую точку.
По формуле (74) 
. Для нахождения вычета в точке необходимо иметь лорановское разложение функции в окрестности точки . Из представления функции в виде 
следует, что в ее лорановском разложении содержатся только четные степени 
и 
, так что 
и 
. По теореме Коши о вычетах (76) 
.
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 97 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Вычет функции и его вычисление | | | Приложение вычетов к вычислению некоторых действительных интегралов |