Положительные ряды.

Для исследования сходимости положительных рядов (т.е. рядов с неотрицательными членами: ³0) применяют достаточные признаки сходимости рядов. Среди них наиболее часто используют признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши (Табл. 1).

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим первый признак сравнения. В качестве «эталонного» ряда возьмем обобщенный гармонический ряд

Показатель степени гармонического ряда p =4/5<1, поэтому «эталонный» ряд расходящийся. Члены исходного ряда для всех n³3 превосходят соответствующие члены «эталонного» ряда:

Применяя первый признак сравнения, получаем, поскольку расходится «меньший» эталонный ряд, то расходится и «больший» исходный ряд.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Преобразуем общий член исходного ряда

Исходный ряд сравним с “эталонным” рядом

Это “геометрический ряд, он сходится, т.к. знаменатель прогрессии q =2/3<1. Поскольку

- конечное число, отличное от 0, то в силу второго признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим признак Даламбера. Записываем n- ый член ряда:

(n +1 )- ый член получим, если в выражении везде n заменим на (n+ 1 ):

Найдем предел отношения:

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Здесь удобно применить радикальный признак Коши:

Следовательно, ряд сходится. Подчеркнем, здесь использовали известный «второй замечательный» предел.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Рассмотрим функцию

Она при x³2 положительная, непрерывная и монотонно убывает. (Заметим, что эта функция получается из выражения общего члена ряда при замене n на x). Можно применять интегральный признак. Исследуем сходимость несобственного интеграла:

Из интегрального признака заключаем, поскольку несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд.

Дата добавления: 2015-07-25