|
Читайте также: |
Как уже упоминалось, в 7 классе предлагается такое определение параллельных прямых: «Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются»[9].
В 10 классе определение точно такое же: «Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются»[10].
Очень важно обсудить с учениками, что подразумевается под словосочетанием «лежат в одной плоскости». Для этого следует рассмотреть два случая, в которых параллельные прямые лежат в параллельных плоскостях и в пересекающихся плоскостях:
| d |
| a |
| b |
| b |
В определении «лежат в одной плоскости» используется в смысле: существует плоскость, проходящая через обе прямые (содержащая обе прямые), через обе прямые можно провести общую плоскость.
Безусловно, сразу следует обсудить вопрос о единственности плоскости, содержащей две различные параллельные прямые (с помощью метода от противного получаем противоречие с аксиомой А3: «Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей».)
5.1 Основные геометрические положения, изучаемые на плоскости
1. Существование и единственность прямой, параллельной заданной и проходящей через заданную точку вне прямой.
· В учебнике Шлыкова в 7 классе формулируется Аксиома параллельных прямых: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной»[11].
Аксиомой утверждается и существование, и единственность прямой.
2. Признаки параллельности:
I. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой (признак легко доказывается самими учащимися методом от противного, благодаря возникающему противоречию аксиоме параллельности).
II. Признаки с использованием секущей.
Две прямые параллельны, если при пересечении двух прямых секущей:
а) накрест лежащие углы равны
б) соответственные углы равны
в) сумма внутренних односторонних углов равна 1800.
Достаточно установить одно из условий.
В учебнике эти признаки сформулированы в виде отдельных теорем.[12]
1 2
6 5
Доказательство теорем учитель проводит совместно с учениками.
Позже формулируются обратные теоремы и таким образом изучаются свойства параллельных прямых.
Важно, чтобы ученики свободно владели признаками (свойствами) и могли использовать их различные модификации:
1 2
2 4 1
1 = 2, 3+ 4=1800 1+ 2=1800
Полезно уточнить, выполняются ли признаки в пространстве (с помощью моделей):
Ученики устанавливают, что нужно добавить в формулировку признаков, чтобы они выполнялись в пространстве? (прямые должны принадлежать одной плоскости).
3. Алгоритм построения параллельной прямой с помощью циркуля и линейки.
5.2 Основные геометрические положения, изучаемые в пространстве
1. В отличие от планиметрии, в стереометрии доказывается единственность прямой, параллельной заданной.
| • |
α
Действительно, в плоскости α существует, притом единственная, прямая, параллельная заданной (согласно аксиоме параллельности). Важно выяснить, нет ли прямых, параллельных заданной, вне этой плоскости (метод от противного). Пусть существует прямая а, не принадлежащая заданной плоскости, но параллельная заданной прямой b.
| A • a b |
Если прямые а и b параллельны, то существует плоскость β, которая содержит эти две прямые. Новая плоскость не совпадает с α, так как прямая а не принадлежит плоскости α. Но тогда через прямую b и точку А вне этой прямой проходят две различные плоскости – противоречие с теоремой, утверждающей о единственности такой плоскости.
2. Признак параллельности: Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Изучение признака лучше предложить в виде задачи: Существует ли прямая, параллельная двум скрещивающимся прямым? Иначе: Как могут располагаться в пространстве две различные прямые b и c, параллельные заданной прямой a?
При решении задачи устанавливаются два факта:
1.Эти две прямые не могут пересекаться (иначе через одну точку проходят две прямые, параллельные одной заданной прямой).
2.Существует плоскость, содержащая одновременно эти две прямые b и а.
а
c
b
При доказательстве второго факта используется теорема, утверждающая, что, если ода из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая также пересекает эту плоскость.
[1]В.В.Шлыков. Геометрия:7, 2011. –С.13
[2] Там же, С.33
[3] Там же, С.33
[4] Там же, С32
[5] Там же, С.68
[6] В.В.Шлыков. Геометрия:11(12),2008. – С.86
[7] В.В.Шлыков. Геометрия:7, 2011.– С.90
[8] Там же, С.76-77
[9] Там же, С.33
[10] В.В.Шлыков. Геометрия:11(12),2008. с.54
[11] В.В.Шлыков. Геометрия:7, 2011.– С.124
[12] Там же, С.116-117
Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 111 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Изучение перпендикулярных прямых | | | Бог - да, но для чего Иисус? |