Метод выполнения. В данном случае надо определить соотношение H/Y высоты hздания и стороны y его

В данном случае надо определить соотношение H/Y высоты H здания и стороны Y его квадратного основания. Предполагается, что от этого соотношения зависит площадь его поверхности, а, следовательно, и расход материала на строительство, а также и потери тепла.

Формальная постановка задачи. Так как расход материала зависит от площади поверхности S, то критерием выбора решения должен быть минимум S. Если не учитывать расход материала на основание здания (вариант 1), то целевая функция будет следующей:

min S = y² + 4Y×H. (4.8)

Ограничением на изменение величин H,Y является то, что задан объем здания, в результате чего величины H и Y связаны между следующим уравнением

Y²×H = V*. (4.9)

Отсюда получим, что H = V*/Y² . Тогда целевая функция примет следующий вид:

min S = y²+4 V*/Y. (4.10)

Таким образом, надо найти отношение H/Y, удовлетворяющее ограничению (4.9) и целевой функции (4.10).

Решение задачи. Уравнение для первой производной от целевой функции, позволяющее найти экстремальное решение, имеет следующий вид:

S ′ = 2Y - 4V*/Y² = 0, (4.11)
откуда следует, что

Y³ = 2V*. (4.12)

Для поиска отношения H/Y следуетвоспользоваться ограничением (4.9). В результате для (4.12) получим, что Y³ = 2Y²×H, откуда следует решение данной задачи:

H=Y/2. (4.13)

Вторая производная от целевой функции имеет следующий вид:

S ″ = 2 + 8V*/Y³. (4.14)

Используя (4.9) и (4.13), получим S ″ = 2 + 8Y²×H/Y³ = 2+8 H/ Y = 6.

Так как S ″ > 0, то это свидетельствует о минимуме целевой функции.

В результате решения данной задачи определено, что оптимальная форма здания, при которой обеспечивается его минимальная поверхность для заданных условий, будет при высоте в 2 раза меньше длины его квадратного основания.

Можно показать, что конструкция здания башенного типа, высота которого, например, в 2 раза больше длины стороны основания, потребует для своего строительства на 20% больше материала, чем здание, высота которого в 2 раза меньше длины основания.

Действительно, при найденном решении H = Y/2 площадь поверхности здания (4.8) будет равна

S = y² + 4Y×H = y² + 4Y× Y/2 = 3Y². (4.15)

Из (4.9) следует, что Y²×H = Y²× Y/2 = V*, откуда получим, что
Y = ³√2V*. Подставив значение Y в (4.14), получим, что
S= 3(³√2V*)² = 4,74(³√V*)². (4.16)

А для варианта, когда высота в 2 раза больше стороны основания, т.е. H=2Y, получим, что S = 9Y². Из (4.9) следует, что Y²×H = Y²× 2Y = V*, откуда получим, что Y = ³√V*/2. Подставив значение Y в (4.14), получим, что

S=9 (³√V*/2)² = 5,69(³√V*²).

Таким образом, уменьшение площади, занимаемой зданием, и улучшение архитектурного вида района требует дополнительных затрат ресурсов.

Для вариант 2, когда учитывается расход материала на основание здания, целевая функция будет иметь следующий вид:

min S = 2y²+4Y×H. (4.17)
Решением задачи будет

H =Y, (4.18)
т.е. в этом случае оптимальной является кубическая форма здания, что хорошо известно из геометрии.

Дата добавления: 2015-07-25