Теоретические сведения и примеры решения задач

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Нулевой гипотезой Н₀ называется проверяемая гипотеза.

Вероятность допустить ошибку, а именно: отвергнуть верную гипотезу Н₀, называется уровнем значимости.

Правило, по которому нулевая гипотеза отвергается или принимается, называется статистическим критерием.

Статистический критерий, служащий для проверки гипотез о виде закона распределения, называется критерием согласия.

Критерий согласия Пирсона :

,

где - эмпирические частоты случайной величины Х;

- теоретические частоты;

- вероятности, рассчитанные по предполагаемому теоретическому распределению.

Схема применения критерия согласия Пирсона сводится к следующему:

а) определяется мера расхождения теоретических и эмпирических частот, вычисляется статистика ;

б) для выбранного уровня значимости по таблице распределения (таблица А4 Приложения А) находится критическое значение при числе степеней свободы , где m – число выборочных

групп, s - число параметров теоретического распределения, определяемого по опытным данным.

в) если наблюдаемое значение больше критического, то гипотеза Н₀ отвергается, в противном случае гипотеза не противоречит опытным данным на заданном уровне значимости.

При использовании критерия Пирсона следует помнить, что он дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале число наблюдений не меньше 5. В противном случае имеет смысл объединить соседние интервалы. При этом соответствующим образом уменьшится число степеней свободы.

Задача. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в % к предыдущему году):

Выработка в отчетном году (в % к предыдущему году)	Менее 104	104-114	114-124	124-134	Более 134
Количество рабочих

С помощью критерия согласия Пирсона проверить гипотезу о том, что выработка на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему) подчиняется нормальному закону распределения. Уровень значимости критерия принять равным 0,05.

Решение. Нулевая гипотеза Н₀ состоит в том, что исследуемый признак Х – выработка на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему) подчиняется нормальному закону распределения.

В качестве оценок двух неизвестных параметров а и будут фигурировать соответствующие выборочные характеристики: и . Можно показать, что . Исследуемый признак принимает значения на всей вещественной оси (в принципе, но не в реальности). Поэтому интервалы разбиения таковы, что левый конец и правый конец .

Теоретические вероятности находятся по формуле

, i = 1, 2, …, k.

Необходимые для этих вычислений значения функции взяты из таблицы А1 Приложения А. Дальнейшие выкладки сведены ниже в таблицу. При этом объединены два последних интервала группировки ввиду их малочисленности.

Интервал группи-ровки	Частота		Функция	Вероят-ность
		−∞	−0,5	0,053	5,3	0,092
		−1,62	−0,447	0,238	23,8	0,636
		−0,55	−0,209	0,404	40,4	0,524
		0,51	0,195	0,248	24,8	0,026
		1,57	0,442	0,057	5,7	0,11
−	−	+ ∞	0,5	−	−	−

Вычисленное статистическое значение критерия .
По количеству интервалов группировки m = 5, числу параметров
нормального распределения найдем число степеней свободы
5 – 3 = 2. Для заданного уровня значимости критерия и числа степеней свободы k = 2 по таблице А4 Приложения А находим . Так как , то нулевая гипотеза о нормальном распределении величины выработки рабочего согласуется
с имеющимися данными.

Варианты задачи № 10

Используя критерий согласия Пирсона при уровне значимости a=0,05, необходимо:

а) проверить, что случайная величина X распределена по нормальному закону;

б) построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

1. Из 1800 изготовленных приборов было отобрано 200. Получено распределение по продолжительности работы

Продолжительность работы прибора	33-34	34-35	35-36	36-37	37-38	Всего
Количество приборов

2. Из 100 предприятий отрасли проверено 100. Получено распределение предприятий по проценту выполнения плана по сравнению с предыдущим годом

Выполнение плана X	85-90	90-95	95-100	100-105	105-110	Всего
Количество предприятий

3. Автомат наполняет ампулы лекарственным раствором. Контрольная проверка 100 ампул дала распределение в них лекарства

Объем лекарств в ампуле X, см^3	Менее 1,9	1,9-1,94	1,94-1,98	1,98-2,02	2,02-2,06	2,06-2,1	Всего
Число ампул

4. Некоторой французской кинокомпанией выпущено 800 фильмов. Отобрано 100 фильмов. Распределение их по времени демонстрации фильма (в минутах) представлено в таблице

Время демонстрации фильма X, мин	До 30	30-60	60-90	90-120	120-150	150-180	Всего
Количество фильмов

5. Из поступающих в цех заготовок по схеме собственно случайной бесповторной выборки было отобрано для взвешивания 200 штук. Получено распределение заготовок по их массе

Масса заготовок X, г	73-75,5	75,5-78	78-80,5	80,5-83	83-85,5	85,5-88	88-90,5	90,5-93	Всего
Число наблюдений

6. Из 200 спортсменов-лыжников по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 80 лыжников. По результатам обследования их по времени восстановления пульса после прохождения дистанции получены следующие данные:

Время восстановления пульса после прохождения дистанции, с	72-76	76-80	80-84	84-88	88-92	Всего
Число лыжников

7. Для контроля массы упаковки (пакетов) из партии 50000 ед. проверили 1000 пакетов, в результате получены данные

Масса пакета, г	900-940	940-980	980-1020	1020-1060	1060-1100	1100-1140	Всего
Число пакетов

8. Из стада в 5000 овец было отобрано 200 овец для контрольной проверки массы настриженной шерсти. Получены следующие данные:

Настриг шерсти с одной овцы, кг	2,8-3,7	3,7-4,6	4,6-5,5	5,5-6,4	6,4-7,3	7,3-8,2	Всего
Число овец

9. Проведены испытания чувствительности второго канала у телевизоров одной марки из 200 таких телевизоров. Получены следующие результаты:

Чувствительность второго канала	40-140	140-240	240-340	340-440	440-540	540-640	Всего
Число телевизоров

10. Из 10000 абонементов библиотеки было отобрано 200 для изучения количества книг, взятых читателями за год, и получены следующие результаты:

Количество взятых за год книг, шт.	0-6	6-12	12-18	18-24	24-30	30-36	Всего
Число абонементов

11. Результаты исследования числа покупателей в универсаме в зависимости от времени работы приведены в таблице

Часы работы	9-10	10-11	11-12	12-13
Число покупателей

12. Масса (в граммах) произвольно выбранных 30 пачек полуфабриката «Геркулес» такова:

Масса, г	485-491	491-497	497-503	503-509	509-515
Количество пачек

13. Из 1000 жителей региона месячный доход жителей региона в руб. представлен в таблице

Месячный доход	Менее 500	500-1000	1000-1500	1500-2000	2000-2500	Свыше 2500
Количество жителей

14. Удой коров на молочной ферме (в ц) среди 100 обследованных коров представлен в таблице

Удой, ц	4-6	6-8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
Количество коров

15. Из большой партии было проверено 150 изделий с целью определения процента влажности древесины, из которой изготовлены эти изделия. Получены результаты

Процент влажности	11-13	13-15	15-17	17-19	19-21
Число изделий

16. Распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в процентах к предыдущему) представлено в таблице

Выработка в отчетном году	90-104	104-114	114-124	124-134	134-144
Количество рабочих

17. Распределение числового признака X в выборке определяется таблицей

X	3,0-3,6	3,6-4,2	4,2-4,8	4,8-5,4	5,4-6,0	6,0-6,6	6,6-7,2
ni

18. Даны значения пористости напыленного покрытия шейки распределительного вала автомобиля

Пористость, %	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20
Количество валов

19. Результаты измерений диаметров 80 отверстий одним и тем же сверлом (в мм)

Диаметр	40,24-40,28	40,28-40,32	40,32-40,36	40,36-40,4	40,4-40,44
Количество отверстий

20. Даны значения внутреннего диаметра гайки (в мм)

Внутренний диаметр гайки	4,00-4,20	4,20-4,40	4,40-4,60	4,60-4,80	4,80-5,00
Количество гаек

21. Отклонения диаметров валиков, обработанных на станке, от заданного размера (в мкм) представлены в таблице

Отклонение диаметров валиков	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25
Количество валиков

22. Дана трудоемкость операции «смазка подшипников подвески автомобиля БеЛАЗ» (в с)

Трудоемкость, с	30-35	35-40	40-45	45-50	50-55
Количество операций

23. Сведения о расходе воды, используемой заводом для технических нужд, в течение 100 дней (в куб. м)

Расход воды, м^3	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18
Количество дней

24. Даны результаты наблюдений за сроком службы 100 однотипных станков до выхода за пределы норм точности (в месяцах двухсменной работы)

Срок службы станка, мес	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45
Количество станков

25. Даны квартальные данные о среднесуточном пробеге 60 автомобилей (в км)

Среднесуточный пробег автомобилей, км	150-170	170-190	190-210	210-230	230-250
Количество автомобилей

26. Даны размеры 200 деталей после шлифовки (в мм)

Размер детали после шлифовки	3,45-3,65	3,65-3,85	3,85-4,05	4,05-4,25	4,25-4,45
Количество деталей

27. Даны результаты испытания стойкости (в часах) 100 фрез

Стойкость фрез, ч	22,5-27,5	27,5-32,5	32,5-37,5	37,5-42,5	42,5-47,5
Количество фрез

28. Даны результаты измерения толщины 50 слюдяных прокладок (в см)

Толщина слюдяных прокладок, см	0,24-0,28	0,28-0,32	0,32-0,36	0,36-0,40	0,40-0,44
Количество прокладок

29. Даны результаты определения содержания фосфора (в %) в 100 чугунных образцах

Содержание фосфора в чугуне, %	0,10-0,20	0,20-0,30	0,30-0,40	0,40-0,50	0,50-0,60
Количество образцов

30. Систематические данные о трудоемкости (в мин) операции «ремонт валика водяного насоса автомобиля» приведены в таблице

Трудоемкость операции, мин	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
Количество валиков

Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 10

1. Сформулируйте определение понятия статистическая гипотеза.

2. Какие выводы делаются при проверке статистических гипотез?

3. Какую гипотезу называют: а) нулевой; б) конкурирующей;
в) параметрической; г) простой; д) сложной?

4. Определите понятие ошибок первого рода и второго рода.

5. Можно ли одновременно уменьшить вероятности ошибок первого и второго рода?

6. Что называется статистическим критерием?

7. Что называется критической областью?

8. Что называется областью принятия гипотезы?

9. Дайте определение: а) правосторонней критической области;
б) левосторонней критической области; в) двусторонней критической области.

10. Как определяются критические точки: а) правосторонней критической области; б) левосторонней критической области; в) двусторонней критической области?

11. В чем состоит схема проверки статистических гипотез?

12. Что называется критерием согласия?

13. Сформулируйте схему применения критерия согласия «хи-квадрат» Пирсона.

Литература

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2002.

2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2002.

3. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М.: Наука, 1999.

4. Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Высшая школа, 2002.

5. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для ВТУЗов / Н.Ш. Кремер. – М.: Юнити, 2001.

6. Ивашев-Мусатов, О.С. Теория вероятностей и математическая статистика / О.С. Ивашев-Мусатов. - М.: Наука, 1979.

7. Гусак, А.А. Теория вероятностей: справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричкова. – 2-е изд., стер. – М.: ТетраСистемс, 2000.

Дата добавления: 2015-07-19