Теоретические сведения и примеры решения задач

При классическом определении вероятность события А определяется отношением

,

где m - число элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А, а n - общее число возможных элементарных исходов испытания; предполагается также, что элементарные исходы единственно возможны и равновозможны.

При непосредственном подсчете вероятности используются следующие понятия и правила комбинаторики.

Правило сложения: если некоторое событие А может наступить в m случаях, а другое событие В может наступить в k случаях, то событие «А или В» может наступить в m + k случаях.

Правило умножения: если событие А может наступить в m случаях и в каждом из этих случаев событие В может произойти в k случаях, то событие «А и В» может наступить в m · k случаях.

Перестановкой из n элементов называется набор из n элементов, расположенных в определенном порядке. Две перестановки отличаются друг от друга только порядком своих элементов. Число всех перестановок из n элементов равно

.

Размещением из n элементов по k элементов называется упорядоченный набор из k элементов, выбранных из n элементов, расположенных в определенном порядке. Два размещения отличаются друг от друга либо порядком, либо составом своих элементов. Если в размещениях из n по k нет повторения элементов, то число таких размещений равно

,

если повторение элементов допускается, то число размещений равно

.

Сочетанием из n элементов по k элементов называется неупорядоченный набор из k элементов, выбранных из n элементов. Два сочетания отличаются только составом своих элементов. Если в сочетаниях из n по k нет повторения элементов, то число таких сочетаний равно

.

Задача 1. В ящике находятся три шара с номерами 1, 2, 3. Наугад извлекаются два шара. Какова вероятность того, что оба вынутых шара имеют нечетные номера?

Решение. Обозначим событие А – два наугад вынутых шара имеют нечетные номера. В данном опыте возможно три элементарных исхода: вынуты шары с номерами 1 и 2; вынуты шары с номерами 1 и 3, вынуты шары с номерами 2 и 3. Событию А благоприятствует лишь один элементарный исход. Таким образом, .

Задача 2. В партии из 10 деталей семь стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей четыре стандартных.

Решение. Обозначим событие А – среди шести взятых деталей четыре стандартных. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесть деталей из 10, т.е. .

Определим число исходов, благоприятствующих событию А – среди шести взятых деталей четыре стандартных. Четыре стандартные детали из семи стандартных можно взять , при этом остальные (6 – 4) = 2 детали должны быть нестандартными; взять же две нестандартные детали из (10 – 7) = 3 деталей можно способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно , а искомая вероятность равна .

Варианты задачи № 1

1. На отдельных карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все девять карточек тщательно перемешаны, после чего наугад берут четыре из них и раскладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получить при этом:

а) четное число;

б) число 1234?

2. Общество из 10 человек садится на скамейку. Какова вероятность, что два определенных лица окажутся рядом?

3. В партии из 37 деталей шесть нестандартных. Определить вероятность того, что среди трех выбранных наудачу деталей:

а) все три окажутся стандартными;

б) по крайней мере, одна стандартная.

4. Из партии изготовленных шестерен, в которой 20 годных и пять бракованных, для контроля наудачу берут восемь штук. При контроле оказалось, что первые три шестеренки из восьми оказались годными. Определить вероятность того, что следующая деталь будет годной.

5. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.

6. Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказалось пять бракованных. Выбрали пять изделий. Какова вероятность того, что

а) среди выбранных изделий нет ни одного бракованного;

б) среди выбранных изделий будет одно бракованное?

7. Из двадцати акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов?

8. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были выбраны пять деталей. Какова вероятность, что среди отобранных деталей окажутся бракованными:

а) две детали;

б) не менее двух?

9. На склад привезли 50 ящиков комплектующих для одного из видов ЭВМ, но среди них оказалось четыре ящика комплектующих для другого вида ЭВМ. Наудачу взяли шесть ящиков. Какова вероятность, что в одном из них окажутся некомплектные детали?

10. В партии из 15 однотипных стиральных машин пять машин изготовлены на заводе А, а десять на заводе В. Случайным образом отобрано пять машин. Найти вероятность того, что две из отобранных машин изготовлены на заводе А.

11. Из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность, что выбранные наудачу три студента – разрядники?

12. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано пять сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города

а) три сбербанка;

б) хотя бы один?

13. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортные. Найти вероятность того, что среди пяти проданных в течение дня телевизоров окажется более трех импортных, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.

14. У сборщика имеется 10 одинаковых деталей, из которых четыре первого и по две детали второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две – второго и одна – третьего вида?

15. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и шесть с дефектами, берут наудачу три детали. Чему равна вероятность того, что:

а) все три детали без дефекта;

б) по крайней мере одна деталь без дефекта?

16. Собрание, на котором присутствовало 30 человек и из них было 10 женщин, выбирает делегацию из пяти человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут три женщины и двое мужчин.

17. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и шесть с дефектами, берут наудачу три детали. Чему равна вероятность того, что:

а) все три детали без дефектов;

б) по крайней мере одна деталь без дефектов?

18. В пачке 12 тетрадей, из которых семь в клетку, остальные в линейку. Наудачу берутся пять тетрадей. Какова вероятность, что среди взятых тетрадей окажется три в клетку?

19. Для студентов, едущих на практику, предоставлено 15 мест в Новосибирске, 10 мест в Бийске и пять мест в Барнауле. Какова вероятность, что три определенных студента попадут в один город?

20. В партии готовой продукции из 20 лампочек имеется пять лампочек высшего качества. Берутся наугад семь лампочек. Какова вероятность, что среди взятых лампочек окажется три лампочки высшего качества?

21. В группе 25 студентов. Вызываются во время занятий три студента. Полагая, что вызов проводится случайно, определить вероятность того, что будут вызваны данные три студента в определенном порядке.

22. В ящике лежит 10 заклепок, из которых пять железных, три латунных и две медных. Наугад берутся две заклепки. Какова вероятность, что они будут из одного материала?

23. В урне четыре красных, шесть зеленых и пять синих шаров. Одновременно вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут одного цвета.

24. Библиотечка состоит из 10 различных книг, причем пять книг стоят по 40 рублей каждая, три книги – по 10 рублей и две книги – по 30 рублей. Найти вероятность того, что взятые наугад две книги стоят 50 рублей.

25. На складе находится 50 пар обуви, из них 40 пар первого сорта и 10 пар второго сорта. Какова вероятность того, что из трех наудачу взятых пар одна окажется второго сорта?

26. В кармане находится восемь монет достоинством по 10 копеек, 14 монет достоинством по 50 копеек. Какова вероятность того, что наудачу взятые две монеты окажутся одного достоинства?

27. Из обследуемых 20 сберегательных касс 10 расположены за чертой города. Для обследования отобраны случайным образом пять касс. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется три кассы в черте города?

28. Из партии, в которой 32 детали без дефекта и пять с дефектами, наудачу берут четыре детали. Чему равна вероятность того, что

а) все четыре детали без дефектов;

б) по крайней мере одна деталь без дефектов?

29. Имеется 20 деталей, среди которых 10 медных и 10 латунных. Детали делятся случайным образом на две равные группы. Найти вероятность того, что в каждой группе одинаковое число медных и латунных деталей.

30. В партии из пятнадцати деталей пять нестандартных. Найти вероятность того, что среди шести выбранных наудачу деталей две окажутся нестандартными.

Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 1

1. Что называется испытанием (опытом)?

2. Что называется событием?

3. Какое событие называется а) случайным; б) достоверным;
в) невозможным?

4. Какие события называются а) несовместными; б) совместными?

5. Какие события называются противоположными?ываются а) несовместными б) совместнымиывается случайным?

6. Что называется полной группой случайных событий?

7. Если события не могут произойти все вместе в результате испытания, то будут ли они попарно несовместными?

8. Образуют ли события А и полную группу?

9. Какие элементарные исходы благоприятствуют данному событию?

10. Какое определение вероятности называется классическим?

11. В каких пределах заключена вероятность любого события?

12. При каких условиях применяется классическая вероятность?

Дата добавления: 2015-07-19