Теоретические сведения и примеры решения задач

Вероятность наступления события А m раз при n повторных независимых испытаниях определяется по формуле Бернулли:

,

где р = Р(А) − вероятность появления события А в одном испытании;

q = = 1 – р – вероятность ненаступления события А в каждом испытании.

Наивероятнейшем числом появления события А называется число , которому при заданном n соответствует максимальная вероятность . Если число не является целым, то ; если - целое число, то имеет два значения и .

Локальная асимптотическая формула Муавра – Лапласа:

,

где и .

Условия применения: n – велико, а р и q – не очень малы, так что ; значения функции определяются по таблице (табли-
ца А1 Приложения А), является четной функцией.

Асимптотическая формула Пуассона:

,

где .

Условия применения: n – велико, а р – мало, так что .

Асимптотическая интегральная формула Муавра – Лапласа:

,

где , , − функция Лапласа, табулированная в приложении А (см. таблица А1); функция Ф(х) является нечетной, при полагают, что Ф(х) = 0,5.

Вероятность отклонения частоты появления события А от вероятности этого события определяется по формуле:

.

Задача 1. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 42 размера, равна 0,35. Найти вероятность того, что из шести покупателей, по крайней мере, двум необходима обувь 42 размера.

Решение. В данной задаче в качестве испытания рассматривается покупатель и выясняется, требуется ли ему обувь 42 размера. Событие А – «покупателю нужна обувь 42 размера», р = Р(А) = 0,35, число испытаний n = 6. Нужно найти вероятность того, что событие А произойдет 2, 3, 4, 5 или 6 раз. Для нахождения указанных вероятностей применим формулу Бернулли, затем их просуммируем:

Ту же задачу можно решить иначе. Найдем вероятность противоположного события, т.е. из шести покупателей менее чем двум необходима обувь 42 размера:

Теперь определим искомую вероятность: . Второй способ является более предпочтительным, так как требует выполнения меньшего числа действий.

Задача 2. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что среди проверенных будет проб с промышленным содержанием металла: а) 320; б) от 290 до 350 включительно.

Решение. 400 проб – это 400 испытаний, в каждом из которых событие А – «проба с промышленным содержанием металла» может произойти с вероятностью 0,8, т.е. имеем схему повторных испытаний, n велико, , можно применять асимптотические формулы Муавра − Лапласа. а) , применяем локальную формулу Муавра − Лапласа:

б) применяем интегральную формулу Муавра - Лапласа:

Варианты задачи № 4

1. Всхожесть семян данного растения равна 90 %. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут

а) три;

б) не менее трех.

2. Семена содержат 0,1 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить пять семян сорняков?

3. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности появления в ней

а) одного мальчика;

б) одной девочки;

в) не более двух мальчиков.

4. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из них потребуется холодильник марки «А» равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется:

а) не менее чем двум покупателям;

б) не более чем трем покупателям;

в) всем четырем покупателям.

5. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.

6. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,001. Найти вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.

7. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено:

а) ровно три изделия;

б) более трех изделий.

8. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из строя выйдут два, три и пять автоматов?

9. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность возврата бракованной обуви равна 0,01. Найти вероятность возврата в магазин из проданных пар обуви:

а) четырех пар;

б) пяти пар.

10. В некоторых водоемах карпы составляют 80 %. Какова вероятность того, что из пяти выловленных в этом водоеме рыб окажется:

а) четыре карпа;

б) не менее четырех карпов.

11. Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену выйдут из строя:

а) два узла;

б) не менее двух узлов.

12. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется менее трех бактерий.

13. Известно, что в среднем 60 % всего числа изготовленных заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Какова вероятность того, что в изготовленной партии окажется:

а) шесть аппаратов первого сорта в партии из 10 аппаратов;

б) 120 аппаратов первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?

14. Вероятность, что перфокарта набита оператором неверно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:

а) из 200 перфокарт правильно набитых будет не менее 180;

б) у того же оператора из 10 перфокарт будет неверно набитых не более двух.

15. Аудиторную работу по теории вероятности успешно выполняют 50 % студентов. Найти вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят:

а) 180 студентов;

б) не менее 180 студентов.

16. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставной фонд свыше 100 миллионов рублей. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставной фонд свыше 100 миллионов рублей:

а) не менее 300 банков;

б) от 300 до 400 банков включительно.

17. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти:

а) с вероятностью 0,9545 границы, в которых заключена доля стандартных среди проверенных 900 деталей;

б) вероятность того, что доля стандартных деталей среди них заключена в пределах от 0,11 до 0,88.

18. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами, продаст их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно было утверждать с вероятностью 0,996, что доля проданных среди них отклонится от 0,7 не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

19. По статистическим данным в среднем 87 % новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (часть) доживших до 50 лет будет:

а) заключена от 0,9 до 0,95;

б) будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

20. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность, что из 400 семей:

а) 300 имеют холодильники;

б) от 300 до 360.

21. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных малых предприятий имеют нарушения финансовой деятельности:

а) 480 предприятий;

б) наивероятнейшее число предприятий;

в) не менее 480 предприятий;

г) от 480 до 520 предприятий.

22. Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при одном выстреле 0,3. Найти вероятность того, что при этом будет:

а) восемь попаданий;

б) не более трех попаданий.

23. Автоматическая штамповка клемм для предохранителей дает 10 % отклонений от принятого стандарта. Сколько стандартных клемм следует ожидать с вероятностью 0,0587 среди 400 клемм?

24. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 прорастания для каждого семени. Найти границу абсолютной величины отклонения частоты взошедших семян от вероятности p = 0,9, если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью p = 0,095.

25. С конвейера сходит в среднем 85 % изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение частости изделий первого сорта в них от 0,85 по абсолютной величине не превосходило 0,01?

26. Книга издана тиражом в 50000 тысяч экземпляров. Вероятность того, что в книге есть дефект брошюровки, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит пять неправильно сброшюрованных книг.

27. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительно частоты появления герба от вероятности его появления было по величине не более 0,01?

28. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0, 004. Найти

вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.

29. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах цель будет поражена

а) не менее 70 и не более 80 раз;

б) не более 70 раз.

30. Произведено восемь независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы два раза.

Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 4

1. Каким образом выглядит точная формула для нахождения вероятности того, что при n независимых испытаниях событие А произойдет m раз, если в каждом испытании событие А появляется с одинаковой вероятностью?

2. Какими должны быть испытания, чтобы можно было применить формулу Бернулли?

3. Что называют наивероятнейшим числом наступления события в n независимых испытаниях? Как находится это число?

4. Когда целесообразно переходить к приближенным методам вычисления по схеме Бернулли?

5. Как формулируется локальная теорема Муавра − Лапласа?

6. Как формулируется интегральная теорема Муавра − Лапласа?

7. Сформулировать свойства функции Лапласа Ф(х).

8. По какой формуле можно вычислить вероятность отклонения относительной частоты события от его вероятности?

9. Какой вид имеет формула, выражающая заключение теоремы Пуассона?

10. При каких условиях можно применять приближение Пуассона для вычислений вероятностей по схеме Бернулли?

Дата добавления: 2015-07-19