Элементы теории устойчивости

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого–либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.

Этот метод особенно важен, так как позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.

Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:

(3.7)

и начальные условия:

Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.

Теорема: (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)

Если правая часть дифференциального уравнения непрерывна и по переменной у имеет ограниченную частную производную на области прямоугольника, ограниченного , то решение , удовлетворяющее начальным условиям , непрерывно зависит от начальных данных, то есть для любого существует такое , при котором если то при условии, что

где

Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.

Определение. Если - решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует , такое, что для любого решения той же системы начальные условия которого, удовлетворяют неравенствам

,

справедливы неравенства

То есть можно сказать, что решение j (t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ³ t ₀.

Если , то решение j (t) называется асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения системы можно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

Тогда:

.

(3.8)

Система (3.8) имеет тривиальное (равное нулю) решение

Теорема: Решение системы (3.7) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (3.8).

Это тривиальное решение называется положением равновесияили точкой покоя.

Определение. Точка покоя системы (3.8) устойчива по Ляпунову, если для любого существует такое , что при выполнении неравенства

следует

.

Теорема: (Теорема Ляпунова). Пусть задана система

имеющая тривиальное решение .

Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям:

1) ³0 и v = 0 только при у ₁ = у ₂ = … = у _n =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат.

2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (то есть вдоль решения y _i(t) системы (3.7)) удовлетворяет условию:

при

Тогда точка покоя устойчива по Ляпунову.

Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат выполнялось условие

где b – постоянная величина, то точка покоя асимптотически устойчива.

Функция v называется функцией Ляпунова.

Дата добавления: 2015-07-16