Нормальные системы линейных однородных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:

(3.6)

Решения системы (3.6) обладают следующими свойствами:

1) Если y, z, u – решения системы, то C y, C z, C u, где C = const – тоже являются решениями этой системы.

2) Если y ₁, z ₁, u ₁ и y ₂, z ₂, u ₂ – решения системы, то y ₁ + y ₂, z ₁ + z ₂, u ₁ + u ₂ – тоже являются решениями системы.

Решения системы ищутся в виде: где const.

Подставляя эти значения в систему (3.6) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на e^{k x}, получаем:

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть:

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k ₁, k ₂, k ₃. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (3.6):

Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами является решением системы (3.6):

Пример:

Найти общее решение системы уравнений:

Решение: составим характеристическое уравнение:

Решим систему уравнений:

Для k ₁:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Для k ₂:

Полагая (принимается любое значение), получаем:

Общее решение системы:

Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение:

Подставим в это выражение производную у ¢ =2 x + 2 y из второго уравнения.

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

.

Обозначив , получаем решение системы:

Пример:

Найти решение системы уравнений

Решение: эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х).

Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:

Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: .

С учетом первого уравнения, получаем:

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения найдем по формуле

Общее решение неоднородного уравнения:

Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:

Ответ:

Пример:

Найти решение системы уравнений:

Составим характеристическое уравнение:

1) k = –1.

Если принять g = 1, то решения в этом случае получаем:

2) k ₂ = –2.

Если принять g = 1, то получаем:

3) k ₃ = 3.

Если принять g = 3, то получаем:

Общее решение имеет вид:

Дата добавления: 2015-07-16