Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов

Градиент, дивергенция, ротор | Экстремум функции нескольких переменных | Абсолютный экстремум | Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа |


Читайте также:
  1. III. Метод наименьших квадратов
  2. III. Риторика как хранилище устоявшихся формул
  3. nbsp;   Согласно формуле (29) введения для однородного тела
  4. U·V - - формула інтегрування частинами
  5. А. Выявления антигенов вируса гриппа в мокроте методом ИФА.
  6. Алгоритм расчета переходного процесса частотным методом
  7. Алгоритм расчета переходных процессов методом интеграла Дюамеля

Под эмпирической формулой понимают формулу, составленную по данным, определенным в результате эксперимента. Получив в результате наблюдений значений величины и соответствующих значений величины , ставят задачу отыскания такой аналитической зависимости между этими величинами, которая возможно мало отличалась бы от реальной зависимости между и . Формулу, приближенно выражающую эту зависимость, называют эмпирической.

Эмпирическими формулами часто пользуются в физических, химических и других естественных науках. Метод наименьших квадратов – один из лучших способов составления таких формул. Изложим идею этого метода для случая линейной зависимости двух величин.

Пусть необходимо установить зависимость между двумя величинами и . Произведем измерений и результаты их занесем в таблицу:

x
y

Будем рассматривать и как прямоугольные декартовы координаты точек на плоскости: , , …, . Допустим, что эти точки расположены почти на некоторой прямой (рис. 1).

 

Естественно в этом случае предположить, что между и существует линейная зависимость, т.е. есть линейная функция от , выражающаяся формулой

, (1)

где и – некоторые постоянные коэффициенты (параметры), подлежащие определению. Равенство (1) можно записать в виде:

, (2)

Поскольку точки только приблизительно расположены на прямой, определяемой уравнением (1) или (2), то и эти формулы являются приближенными.

Следовательно, подставляя в формулу (2) вместо и значения и , , взятые из таблицы, получаем:

(3)

где – некоторые числа, называемые погрешностями.

Требуется определить коэффициенты и так, чтобы погрешности были по возможности малыми по модулю. Согласно методу наименьших квадратов, подберем коэффициенты и так, чтобы сумма квадратов погрешностей была возможно меньшей, т.е. потребуем, чтобы сумма

(4)

была наименьшей. Если эта сумма окажется достаточно малой, то тогда и сами погрешности будут малыми по модулю.

Подставляя равенства (3) в формулу (4), получаем:

.

Переменная величина является функцией двух переменных и . Подберем параметры и так, чтобы функция принимала возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия: , . Находя частные производные по и , приравниваем их нулю, получаем так называемую нормальную систему:

(5)

откуда определяем параметры и эмпирической формулы (1).

Пример 7.1. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x     1,5    
y –0,3 1,3     3,5

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Решение. Найдем необходимые для расчетов суммы , , , . Промежуточные вычисления оформим в виде вспомогательной таблицы.

№ п/п
    –0,3    
    1,3   1,3
  1,5   2,25  
         
    3,5   10,5
7,5 9,5 16,25 20,8

 

Нормальная система (5) имеет вид:

Решая эту систему, находим: , . Следовательно, зависимость между величинами и выражается приближенной формулой . Чтобы установить, какая их двух линий или лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные, проведем следующие вычисления:

 

 

№ п/п
  –0,3 –0,065   0,055225 0,09
  1,3 1,245   0,003025 0,09
    1,9 2,25 0,01 0,0625
    2,555   0,198025  
  3,5 3,865   0,133225 30,25
9,5 9,5 16,25 0,3995 31,4925

 

Так как , то прямая лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделаем чертеж (рис.5).

 
 
Рис. 5


 


ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант 1.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+y2–9xy+27; 0£ x£ 3, 0£ y£ 3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y         41,5

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Одна сторона прямоугольника a=6 см, другая b=8 cм. Как изменится диагональ прямоугольника, если сторону a удлинить на 4 мм, а сторону b укоротить на 1 мм?

Вариант 2.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+2y2+1; x³0, y³0, x+y£3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x   5,4 5,8 6,3 6,8
y 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить sin440·cos290.

Вариант 3.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=3–2x2–xy–y2; x£1, y³0, y£x.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x   4,5   5,5  
y          

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить (0.97)2.02.

Вариант 4.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+3y2+x–y; x³1, y³–1, x+y£1.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y   2,1 2,2 2,3 2,4

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 5.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж.z=x2+2xy+2y2; –1£ x£ 1, 0£ y£ 2.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x 5,2 5,4 5,6 5,8  
y 2,2 2,1 2,1 2,0 1,9

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить 0,97arctg .

Вариант 6.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=5x2–3xy+y2+4; x³–1, y³–1, x+y£1.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y     8,5 10,2 12,2

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксими­ровать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 7.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=10+2xy–x2; 0£y£4–x2.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y 1,7   2,2 2,4 2,6

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6.Вычислить sin590·cos320.

Вариант 8.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+2xy–y2+4x; x£0, y£0, x+y+2³0.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y 2,5 2,2   1,8 1,7

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить 1.04·ln(1.02).

Вариант 9.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+xy–2; 4x2–4£y£0.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y          

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 10.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+xy; –1£x£1, 0£y£3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

 

x            
y 2,4 2,6 2,8   3,1 3,3

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 11.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+y2–4xy–4; 0£ x£ 4, 0£ y£ 4.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y         41,5

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума, используя метод множителей Лагранжа

при .

6. Вычислить .

Вариант 12.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+2y2+4xy+1; –1£ x£ 1, 0£ y£ 2.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x   5,5 5,9 6,4 6,9
y 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 13.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x3+y3–3xy; 0£ x£ 4, 0£ y£ 4.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x 4,5   5,5   6,5
y          

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см, 8 см и 6 см, сделан из фанеры толщиной в 2 мм. Определить приближенно объем затраченного на ящик материала.

Вариант 14.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2–2y2+4xy–6x+5 в треугольнике, ограниченном осями Ох, Оу и прямой x+y=3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y   2,1 2,2 2,3 2,4

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квад­ратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. При измерении на местности треугольника АВС получены следующие данные: сторона а=100м 2м, сторона b=200 м 3 м, угол С=600 10. С какой степенью точности может быть вычислена сторона с?

Вариант 15.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2–y2+4xy–6x–2y в треугольнике, ограниченном осями Ох, Оу и прямой x+y=3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x 5,1 5,3 5,5 5,7  
y 2,2 2,1 2,1 2,0 1,9

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа

f(x, y) = xy при 2x + 3y – 5 = 0.

6. Период Т колебания маятника вычисляется по формуле , где l – длина маятника, g – ускорение силы тяжести. Найти погрешность в определении Т, получаемую в результате небольших ошибок и при измерениях l и g.

 

Вариант 16.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=2x3+4x2+y2–xy в области, ограниченной параболой y=x2, осью Оу (х³0) и прямой y=4.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y 4,1   8,5 10,2 12,3

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Одна сторона прямоугольника a=12 см, другая b=16 cм. Как изменится диагональ прямоугольника, если обе стороны укоротить на 1 мм?

Вариант 17.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+xy–3x–y; 0£ x£ 2, 0£ y£ 3.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
y 1,7   2,2 2,4 2,6

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить sin1490·cos1210.

Вариант 18.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж.

z=x2–2xy+3 в области, ограниченной параболой y=4–x2 и осью Ох.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x 7,5   9,5   11,5
y   2,2   1,8 1,7

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти условный экстремум функции при условии .

6. Вычислить (1.07)1.92.

 

Вариант 19.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+2xy–y2–2x+2y+3 в треугольнике, ограниченном прямыми y=0, x=2, y=x+2.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x          
y          

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Исследовать на экстремум функцию .

6.Вычислить .

Вариант 20.

1. Исследовать на экстремум функцию

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2+y2–6x+4y+2; 0£ x£ 4, –3£ y£ 2.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x 7,5   9,5   11,5  
y 2,3 2,6 2,8   3,1 3,3

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6.Вычислить 1,07arctg .

Вариант 21.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=1+x+2y; x³0, y³0, x+y£1.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x 9,8 19,5 30,5 39,8  
y 8,5       41,5

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить .

Вариант 22.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x2y; x2+y2£1.

3. Проверить, что rot rot = grad div –D , если

4. Опытные данные о значении переменных и приведены в таблице:

x 5,1 5,5 5,8 6,3 6,8
y 2,3 2,2 2,4 2,5 2,6

В результате их выравнивания по параболе получено уравнение . Пользуясь методом наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью . Найти параметры и . Установить, какая их двух линий лучше в смысле метода наименьших квадратов выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

5. Найти точки экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

при .

6. Вычислить sin440·cos460.

Вариант 23.

1. Исследовать на экстремум функцию .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x, y) в заданной замкнутой области. Сделать чертеж. z=x3+y3–3xy; 0£ x£ 2, –1£ y£ 2.

3. Проверить, что rot rot = grad div


Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 115 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Применение дифференциала к приближенным вычислениям| Н А К О Н Е Ц - Т О

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.082 сек.)