Экстремум функции нескольких переменных

Максимумом (минимумом) функции называется такое значение этой функции, которое больше (меньше) всех ее значений , принимаемой данной функцией в точках некоторой окрестности точки Максимум или минимум функции называется экстремумом этой функции, точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума:

а) Необходимый признак экстремума: в точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует . Точки, в которых частные производные первого порядка равна нулю, либо не существуют, называются критическими;

б) Достаточный признак экстремума: если точка – критическая точка функции и , , , , тогда:

1) если , то функция имеет экстремум в точке , а именно максимум, если , и минимум, если ;

2) если , то экстремума в точке нет;

3) если , то вопрос о наличии экстремума в точке требует дополнительного исследования.

Пример 3.1. Исследовать на экстремум функцию .

а) Найдем критические точки:

Таким образом, имеем две критические точки и . Находим .

В точке , т.е. в этой точке экстремума нет. В точке и , следовательно, в этой точке функция имеет локальный минимум: .

Дата добавления: 2015-07-16