III. Метод наименьших квадратов

В методе наименьших квадратов параметры уравнения y = f(x, a₁,..., a_k) определяются исходя из условия минимума суммы квадратов отклонений по всем точкам между расчетными и экспериментальными значениями:

. (7)

Поскольку критерий R(a₁,..., a_k) является функцией неизвестных параметров, его использование позволяет свести систему (7) к нормальному виду, т.е. виду, когда число неизвестных равно числу уравнений.

Условием существования экстремума функции нескольких переменных является равенство нулю частных производных по каждой из переменных. Поэтому для приведения системы (7) к виду, удобному для решения, необходимо найти частные производные функции R по каждой из переменных a₁,..., a_k:

. (8)

Так, например, для той же функции y_i^P=ax_i² + bx_i + c, система уравнений (8) будет выглядеть:

(9)

или

. (10)

Коэффициенты зависимости (1) получают в результате решения системы уравнений (10).

Если функциональная зависимость является нелинейной относительно искомых параметров, то нахождение коэффициентов представляет собой определенные трудности. Это объясняется тем, что, во-первых, не всегда имеется возможность аналитического вычисления частных производных (8), во-вторых, полученная система уравнений будет не линейна относительно искомых коэффициентов и ее решение сопряжено с рядом вычислительных трудностей.

Например, y = ax^b - нелинейна относительно а,b однако после логарифмирования уравнения получим

y^/= a^/ + bx^/; где y^/ = ln y; x^/ = ln x; a^/ = ln a

Т.е. получена линейная зависимость у^/ = f(x^/, a^/, b). В этом случае при определении коэффициентов a^/, b можно воспользоваться методами решения системы линейных уравнений.

Контрольные вопросы и задания

1. Сформулировать задачу аппроксимации.

2. Объяснить отличие и сходство задач аппроксимации и интерполирования.

3. Привести примеры области применения задач аппроксимации и интерполирования.

4. Сформулировать условие аппроксимации?

5. Привести нелинейную математическую модель к линейному виду.

6. Осуществить аппроксимацию методом выбранных точек.

7. Осуществить аппроксимацию методом средних.

8. Осуществить аппроксимацию методом наименьших квадратов.

6. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку, схему алгоритма, листинг программы, распечатку результатов, анализ полученных результатов.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Варианты 1.1 – 1.3

Вязкость пластичной жидкости находится по следующей формуле:

,

где - напряжение внутреннего трения при котором пластичная жидкость начинает движение, Н/м²; d – диаметр проходного сечения; - средняя скорость жидкости, м/c; - коэффициент пропорциональности, характеризующий пластичные свойства жидкости.

Определить и , если известно, что d= 0.2 м и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные	Метод решения системы линейных уравнений
I
1.1		0.2	0.25	0.4	0.6	0.7	0.75	0.9	-	Крамера
								-
1.2		0.3	0.4	0.7	0.9	1.2	1.4	1.5	1.7	Гаусса
1.3		0.25	0.5	0.6		1.5		2.75		Обращения матриц

Варианты 1.4 – 1.6

Эффективную скорость газа, соответствующую началу подвисания жидкости при прохождении газа через нее можно найти по числу Рейнольдса, определяемого по формуле:

,

где - критерий Архимеда, соответствующему эквивалентному диаметру насадки и плотности газа; и - скорости газа и жидкости, кг/ч; и - константы.

Определить и , если известно, что =12300 кг/ч, =46 и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные	Метод решения системы линейных уравнений
I
1.4	Wf									Обращения матриц
Re
1.5	Wf								-	Гаусса
Re								-
1.6	Wf							-	-	Крамера
Re							-	-

Варианты 1.7 – 1.9

Постоянная составляющая помехи в электрической сети описывается следующей математической моделью:

где и - угловые скорости, рад/с; t – время, с; - напряжение, В; , , - константы.

Определить , , , если известно, что =5 рад/с, =10 рад/с и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные	Метод решения системы линейных уравнений
I
1.7		0.1	0.5	0.6	0.8	1.1	1.4	1.6	1.8	Обращения матриц
U			-16	-5			-2	-20
1.8		0.2	0.3	0.5	0.8	0.9		1.2	1.4	Гаусса
U
1.9		0.1	0.2	0.4	0.8	0.9		1.2	1.5	Крамера
U	3.2	3.3	2.7	3.1	3.05	2.9		3.2

Варианты 1.10 -1.13

Изменение температуры в зависимости о времени в трубчатом реакторе можно описать следующей математической моделью:

,

где t – время, с; Т - температура реакционной массы, К; , , - константы.

Определить , , , если известно, что в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные	Метод решения системы линейных уравнений
i
1.10	t								-	Крамера
T
1.11	t									Обращения матриц
T			300.5	300.5
1.12	t									Гаусса
T
1.13	t							-	-	Обращения матриц
T							-	-

Варианты 2.1 -2.3

Константа скорости химической реакции подчиняется закону Аррениуса:

,

где - постоянная скорости химической реакции,; Т - температура реакционной массы, К; E – энергия активации, кДж/моль; R = 8.32 универсальная газовая постоянная, кДж/(К×моль).

Определить и E, если известно, что в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Номер варианта	Экспериментальные данные	Метод решения системы линейных уравнений
i
2.1	T	277.5						297.5	-	Обращения матриц
K			1239.5		1239.8	1240.5		-
2.2	T						292.5			Гаусса
K
2.3	T								-	Крамера
K								-

Варианты 2.4 -2.9

Зависимость максимальной ньютоновской вязкости полимера в растворе без учета средневязкостного молекулярного веса и коэффициента полидисперсности полимера выглядит следующим образом:

,

где Т - температура реакционной массы, К; R = 8.32 универсальная газовая постоянная, кДж/(К×моль); - концентрация полимера, безразм.; a1, a2, a3, – константы; А – поправочный коэффициент ед. измерения, Па×с.

а) Определить значения констант a1, a2, a3 при Т= 300 К, А = 0.51 Па×с, если известны следующие экспериментальные данные

Номер варианта	Экспериментальные данные	Метод решения системы линейных уравнений
I
2.4		0.05	0.2	0.4	0.6	0.8	0.9	0.95	-	Гаусса
	0.1	0.3	0.6	0.9	1.2	1.5	1.5	-
2.5		0.1	0.2	0.3	0.4	0.7	0.8	0.9	-	Крамера
		3.5	5.1		8.5		9.4	-
2.6		0.05	0.15	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.9	Обращения матриц

б) Определить значения констант Аиa3при C_p = 0.5,a1=1.9, a2=2.7, если известны следующие экспериментальные данные

Номер варианта	Экспериментальные данные	Метод решения системы линейных уравнений
I
2.7	Т									Крамера
				3.5			1.8
2.8	Т								-	Обращения матриц
								-
2.9	Т								-	Гаусса
							13.5	-

Варианты 2.10 – 2.13

Постоянная составляющая помехи в электрической сети описывается следующей математической моделью:

,

где - угловая скорость, рад/с; t – время, с; - напряжение, В; , , - константы.

Определить , , , если известно, что =15 рад/с и в ходе исследования получены следующие экспериментальные данные:

Дата добавления: 2015-07-19