Постановка задачи аппроксимации. Пусть известна последовательность экспериментальных значений хi

Пусть известна последовательность экспериментальных значений х_i, y_i (i= 1, m) и известна зависимость которой должна удовлетворять эта последовательность:

y = f(x, a₁,..., a_k), m>k, (1)

где a₁,..., a_k – неизвестные коэффициенты зависимости, k – число определяемых параметров.

Необходимо определить коэффициенты аппроксимирующей зависимости, исходя из условия наилучшего в некотором смысле приближения расчетных и экспериментальных данных

Существует несколько подходов к аппроксимации табличных значений у_i.

I. Метод выбранных точек

Ставится задача определения параметров зависимости (1) по отдельным точкам табличной зависимости (рис. 1).

Рассмотрим решение этой задачи на примере квадратичной зависимости (полинома 2 порядка). Для определения параметров этой зависимости необходимо выбрать 3 точки:

. (2)

Решение полученной системы уравнений (2) относительно a, b, c дает нам параметры аппроксимирующей зависимости. Выбор точек из таблицы, вообще говоря осуществляется произвольно.

II. Метод средних

Постановка задачи остается прежней: требуется найти параметры аппроксимирующей зависимости. Эти параметры будем искать, исходя из следующего условия

, (3)

где y_i^P = f(x_i, a₁,..., a_k), m – число экспериментальных точек.

Для примера выберем ту же зависимость

y_i^P=ax_i² + bx_i + c, (4)

Необходимо найти неизвестные параметры a, b, c. Все измерения заданные на рисунке 1, в этом случае, разбиваются на группы, обычно равные; количество групп равно количеству неизвестных параметров.

Тогда для каждой группы, исходя из условия (3), можно записать уравнения:

(5)

или

(6)

где М – целое число, для данной аппроксимирующей зависимости примерно равное , поскольку таблица экспериментальных данных разбивается на 3 группы.

Решение полученной системы уравнений (6) относительно неизвестных параметров а, b и с позволяет найти параметры аппроксимирующей зависимости.

Дата добавления: 2015-07-19