nbsp; Согласно формуле (29) введения для однородного тела

, (20)

где x и y – координаты элементарного объемчика dV.

Для определения dV разобьем цилиндр на тонкие диски длиной dx. На таком диске выделим узкий кольцевой слой радиусом r и шириной dr. В свою очередь на этом кольцевом слое выделим двумя радиусами, угол между которыми составляет малую величину dj, кольцевой сектор. Поскольку размеры этого сектора очень малы, мы не допустим большой ошибки, если его объем dV будем рассчитывать как объем куба со сторонами rdj, dr и dx. Таким образом, элементарно малый объем можно представить в следующем виде: dV=rdrjdx

Интегрирование по всему объему кольца эквивалентно тройному интегрированию: по j в пределах от 0 до 2p, по r в пределах от 0 до R, и по x - в пределах от - L/2 до L/2. Однако для того, чтобы выполнить это интегрирование надо переменную y записать через переменные r и j. Как видно из рис.3, эти переменные связаны соотношением y=rSinj. Таким образом, интеграл (20) можно записать так

Учитывая, что Sin²j=(1-Cos2j)/2, в результате интегрирования получаем

(21)

Эта формула позволяет рассчитать момент инерции сплошного однородного цилиндра по известным геометрическим размерам и массе цилиндра (нетрудно заметить, что pR²Lr - это масса цилиндра). Формулу для момента инерции коаксиального цилиндра с внешним радиусом R, внутренним радиусом r и массой m можно получить, используя принцип суперпозиции, согласно которому J=J_R -J_r. Здесь J_R, J_r – моменты инерции цилиндров с радиусами R и r соответственно. Очевидно, что длины и плотности этих цилиндров одинаковы. Тогда, в соответствии с (21), получаем

Величина p(R²-r²) - это площадь основания коаксиального цилиндра, p(R²-r²)L - это объем коаксиального цилиндра, а p(R²-r²)Lr - это масса коаксиального цилиндра - m. Таким образом, для момента инерции коаксиального однородного цилиндра получаем следующую формулу

. (22)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое момент силы? Как он вычисляется в данной работе? В каких единицах измеряется момент силы, момент инерции, угловое ускорение?

2. В чем заключается принцип суперпозиции для моментов инерции? Каково содержание теоремы о параллельных осях? Как используются эти положения в данной работе?

3. Оцените погрешность модели материальной точки при описании момента инерции груза в виде цилиндра радиуса R и длиной L, находящегося на расстоянии l от оси, которая направлена перпендикулярно оси цилиндра.

4. Какова идея метода наименьших квадратов?

Дата добавления: 2015-07-19