Обработка результатов эксперимента

Для того чтобы корректно сравнить величины моментов инерции цилиндра, полученные по теоретической формуле (3) и методом наименьших квадратов при обработке экспериментальных зависимостей e от М, необходимо рассчитать погрешности определения этих величин.

1. Значения моментов инерции и , полученные в результате расчета по формуле (3), отягощены погрешностями, поскольку величины, входящие в эту формулу, определены неточно. Эти погрешности рассчитываются как погрешности косвенных измерений, то есть

. (10)

Здесь D m, D l, D R, D r и D L – систематические погрешности измерения этих величин.

2. Прежде чем приступить к построению экспериментальных точек, необходимо оценить погрешности определения величин e и М, которые рассчитываются по формулам (7) и (8). Измерение e и М есть измерения косвенные. Тогда, пренебрегая погрешностью g по сравнению с погрешностями других величин, получаем

, (11)

. (12)

Подстановка в эти формулы систематических погрешностей прямых измерений величин R₀, m, h и t позволяет определить систематические составляющие погрешностей e и М. При расчете случайных составляющих погрешности этих величин формулы (11) и (12) существенно упрощаются, так как учитывается лишь случайная погрешность измерения времени, то есть

Поскольку необходимо лишь оценить величины погрешностей, достаточно рассчитать только максимальные значения D М и D e.

3. Приближенно величины параметров J и М_Т можно определить графическим способом. Для этого необходимо на миллиметровой бумаге изобразить координатные оси. По оси абсцисс будем в определенном масштабе откладывать величину e, а по оси ординат – величину М. В этих координатных осях следует построить экспериментальные точки (e _i , M_i). Согласно формуле (9), зависимость М от e линейна. Тогда, проведя по экспериментальным точкам ²наилучшую прямую², можно найти тангенс угла наклона этой прямой, который равен, очевидно, J. Отсекаемая ²наилучшей прямой² на оси ординат часть будет равна М_{Т .}

В первом приближении ²наилучшей прямой² можно считать такую прямую, относительно которой экспериментальные точки расположены симметрично по обе стороны от нее. (Нечто похожее приведено на рис.2.). Такую прямую можно провести, используя прозрачную линейку. Более строго понятие ²наилучшей прямой² определяется в методе наименьших квадратов.

4. Строго, задача о нахождении наилучших оценок истинных значений J и М_Т по данным эксперимента и известной зависимости М=М_Т+Je, ставится так. Необходимо найти такие значения J и М_Т, при которых функция М=М_Т+Je наилучшим образом соответствует опытным данным. Рассмотрим подробнее смысл выражения "наилучшим образом".

Выберем за меру отклонения функции от экспериментальных данных для n -го опыта величину (M_n-M_Т -Je _n)² (рис.2). Почему именно эта величина, а не просто M_n-M_Т -Je _n? Ясно, что оба уклонения M_Т +Je _n от М_n нехороши: плохо, если J и М_Т таковы, что M_n<M_Т -Je _n, но также нехорошо, если A таково, что M_n>M_Т -Je _n. Если бы за меру отклонения мы взяли M_n-M_Т -Je _n, а затем стали бы находить сумму отклонений в нескольких опытах, то мы могли бы получить весьма малую величину за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но разных знаков. Это, однако, вовсе не говорило бы, что взятая функция М=М_Т+Je хороша. Если за меру отклонения взять величину (M_n-M_Т -Je _n)², то такого взаимного уничтожения не будет, так как все величины величину (M_n-M_Т -Je _n)²>0.

Итак, в качестве меры общего отклонения S₀ в описании экспериментальных данных функцией М=М_Т+Je необходимо взять сумму мер отклонений для всех опытов, то есть

. (13)

Таким образом, функция М=М_Т+Je будет наилучшим образом соответствовать опытным данным, если S₀, то есть сумма квадратов отдельных отклонений, минимальна. Метод определения констант, входящих в формулу, из требования минимальности S₀, называется методом наименьших квадратов.

Величина S₀ является функцией от J и М_Т, то есть S₀=S₀(J, М_Т). Надо выбрать числа J и M_T так, чтобы величина S₀ была наименьшей. Для этого поступим так. Если бы M_T было уже найдено, то S₀ зависело бы только от J, то есть S₀=S₀(J). Поэтому величина S₀ была бы наименьшей при таком J,при котором dS₀/dJ=0. То есть должно было бы быть

С другой стороны, если бы уже было найдено J, то должно было бы быть

Эти условия дают следующую систему уравнений для определения величин J и M_T:

или . (14)

Здесь введены обозначения: . Эти величины легко вычисляются по экспериментальным данным.

Дата добавления: 2015-07-19