Определенного интеграла

При помощи определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур, длины дуг, объемы тел вращения, а также решать другие задачи.

В зависимости от того, в какой системе координат решается задача и в каком виде задано уравнение кривой, выбирается нужная формула по таблице.

Для определения пределов интегрирования необходимо сделать чертеж. Затем подставить в формулу конкретные данные своей задачи и провести вычисления.

Пример 58. Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямыми и .

Решение. Выполним чертеж. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (знак “-“ перед ) и приподняты на 2 единицы (рис. 5). Искомая площадь симметрична относительно оси , следовательно, можно вычислить половину площади и удвоить результат, т.е. .

y

2

1 x

Рис. 5

Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой :

,

согласно формуле (1г), табл. получим:

; (кв. ед.).

Пример 59. Вычислить площадь, ограниченную линией

, .

Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра . Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид (в). Воспользуемся формулой (1в) табл.

.

Пример 60. Вычислить площадь, ограниченную линией .

Решение. Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой (1д), табл. Пределы интегрирования не заданы, поэтому необходимо сделать чертеж (рис. 6). Линию построим по точкам, давая значения через равный промежуток, например, , начиная от до . Вычислим искомой площади.

Рис. 6

(кв. ед.).

Пример 61. Найти длину дуги , отсеченную прямой .

Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах.

y Воспользуемся формулой (2а),

табл. .

Дата добавления: 2015-07-16