Читайте также:
|
|
При помощи определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур, длины дуг, объемы тел вращения, а также решать другие задачи.
В зависимости от того, в какой системе координат решается задача и в каком виде задано уравнение кривой, выбирается нужная формула по таблице.
Для определения пределов интегрирования необходимо сделать чертеж. Затем подставить в формулу конкретные данные своей задачи и провести вычисления.
Пример 58. Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямыми
и
.
Решение. Выполним чертеж. Графиком
является парабола, ветви которой направлены вниз (знак “-“ перед
) и приподняты на 2 единицы (рис. 5). Искомая площадь симметрична относительно оси
, следовательно, можно вычислить половину площади и удвоить результат, т.е.
.
y
![]() |
2
![]() | |||
![]() | |||
1 x
Рис. 5
Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой :
,
согласно формуле (1г), табл. получим:
;
(кв. ед.).
Пример 59. Вычислить площадь, ограниченную линией
,
.
Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра . Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид (в). Воспользуемся формулой (1в) табл.
.
Пример 60. Вычислить площадь, ограниченную линией .
Решение. Так как уравнение линии, ограничивающей искомую площадь, задано в полярных координатах, то необходимо воспользоваться формулой (1д), табл. Пределы интегрирования не заданы, поэтому необходимо сделать чертеж (рис. 6). Линию построим по точкам, давая
значения через равный промежуток, например,
, начиная от
до
. Вычислим
искомой площади.
![]() |
Рис. 6
(кв. ед.).
Пример 61. Найти длину дуги , отсеченную прямой
.
Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах.
y Воспользуемся формулой (2а),
табл.
.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 43 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ | | | Из чертежа видно, что |