Основные свойства определённого интеграла.

1. . (1)

Доказательство.

Пусть a < b. Выберем произвольное разбиение отрезка [ a; b ] и произвольно выберем точки ξ_k [ x_{k -1}; x_k ]. Составим .

Будем считать

а -верхним пределом, b -нижним пределами интегрирования (для выбранных Т и ξ_k):

b = x ₀′> x ₁′> x ₂′>…> x ′ _{n- 1}> x ′ _n = a, ∆ x′_k = x′_k-x′_{k- 1}<0, .

. Следовательно, S′ = -S. (2)

По условию существует . Следовательно, существует

. Переходя в равенстве (2) к пределу при l ®0, получим равенство (1).

2. Если f и g интегрируемы на [ a; b ], то и функция f + g также интегрируема на [ a; b ], причём (3)

Доказательство.

Выберем произвольное разбиение отрезка [ a; b ] и произвольно выберем точки ξ_k [ x_{k -1}; x_k ].

. (4)

По условию существуют , . Следовательно, существует предел правой части равенства (4), равный . Значит, существует и предел левой части:

.

Переходя в (4) к пределу, получим (3).

3. Если f R [ a; b ], , то функция cf R [ a; b ] и

. (5)

Доказательство.

Выберем произвольное разбиение отрезка [ a; b ] и произвольно выберем точки ξ_k [ x_{k -1}; x_k ]. Имеем . (6)

Т.к. f R [ a; b ], то существует . Следовательно, существует и предел левой части равенства (5) и он равен . Переходя в (6) к пределу, получим (5).

Следствие. Если f, g R [ a; b ] и α, β , то функция (αf + βg) R [ a; b ] и

.

В частности, .

4. Если f R [ a; b ], то f R [ α; β ], где [ α; β ] [ a; b ].

5. (Аддитивное свойство интеграла) Пусть a < c < b и f R [ a; b ]. Тогда f R [ a; с ] и f R [ с; b ] и . (8)

Интегрирование неравенств

6. Если f R [ a; b ] и f (x)≥0 на [ a; b ], a < b, то . Если f (x)≤0, a < b, то .

Замечание 1. Если f (x)≥0, a > b, то ;

если f (x)≤0, a > b, то .

Замечание 2. Если f (x)≥ m, a < b, то .

Замечание 3. Пусть f непрерывна и неотрицательна на [ a; b ]. Если f (x ₀)>0, где x ₀ [ a; b ], a < b, то .

Доказательство.

Т.к. f непрерывна на [ a; b ], то f непрерывна в x ₀ [ a; b ]. Следовательно, " ε >0 $ δ >0, такое, что " x (x ₀ -δ; x ₀+ δ) выполнено | f (x) -f (x ₀)|<ε. Возьмём . Обозначим α = x ₀ -δ, β = x ₀+ δ. Тогда " x (α; β) следует:

, .

Тогда .

7. Пусть f, g R [ a; b ], a < b, f (x)≤ g (x) " x [ a; b ]. Тогда .

8. Если f R [ a; b ], a < b, то | f | R [ a; b ] и . (10)

9. Теорема о среднем значении определённого интеграла.

Если f непрерывна на [ a; b ], то на [ a; b ] существует точка с, такая, что

. (12)

Доказательство.

Т.к. f C [ a; b ], то f достигает на [ a; b ] наименьшего и наибольшего значений m и M соответственно, т.е. " x [ a; b ] m ≤ f (x)≤ M.

а) Пусть a < b. По свойству 7 . Следовательно,

. (13)

Отсюда . Обозначим , где – число, заключённое между m и M. Т.к. f непрерывна на [ a; b ], то существует точка с [ a; b ], такая, что f (c)= μ. Следовательно, .

б) Пусть a > b. Тогда .

Дата добавления: 2015-07-16