Некоторые классы интегрируемых функций

1. Интегрируемость непрерывных функций.

Теорема 1. Если функция f (x) определена и непрерывна на [ a; b ] (a < b), то f интегрируема на [ a; b ].

Доказательство.

Т.к. f непрерывна на [ a; b ], то она ограничена на нём и равномерно непрерывна на нём (теорема Кантора). Возьмём произвольное разбиение отрезка [ a; b ] и составим разность , где . Т.к. f непрерывна на [ x_{k -1}; x_k ], то m_k является наименьшим, а M_k -наибольшим значением f на [ x_{k -1}; x_k ], т.е. существуют x_k ′ и x_k ″, такие, что f (x_k ′)= m_k, f (x_k ″)= M_k. Следовательно, . (1)

Выберем произвольное ε >0. Т.к. f равномерно непрерывна на [ a; b ], то для выбранного ε >0 существует δ >0, такое, что " x ′, x ″ [ a; b ], удовлетворяющих условию | x ′ -x ″|< δ, выполнено, | f (x ″) -f (x ′)|< .

Пусть Т - такое, что λ < δ. Тогда | x_k ″ -x_k ′|≤| x_{k -1}; x_k |<∆ x_k = λ < δ и, следовательно, выполняется неравенство | f (x_k ″) -f (x_k ′)|< . Тогда из (1) следует, что

₌ .

Получили, что для любого разбиения Т, такого, что λ < δ выполнено . Следовательно, . Значит, согласно критерию интегрируемости, функция f интегрируема на [ a; b ]

2. Интегрируемость монотонной функции.

Теорема 2. Если функция f (x) определена и монотонна на [ a; b ], то она интегрируема на [ a; b ].

Доказательство.

Пусть f (x)-монотонно возрастает на [ a; b ]. Выберем произвольное разбиение отрезка [ a; b ]. Т.к. f возрастает, то m_k = f (x_{k- 1}), M_k = f (x_k); M_k > m_k для любого , f (x_k)> f (x_{k- 1}). Пусть ε -произвольное положительное число. Выберем . Пусть Т - такое, что λ < δ, тогда

.

Получили, что " ε >0 $ δ >0, такое, что для любого разбиения Т: λ < δ выполнено . Это значит, что . Следовательно, f интегрируема на [ a; b ]

3. Интегрируемость функций, имеющих конечное число точек разрыва.

Теорема 3. Если функция f (x) определена, ограничена на [ a; b ] и имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [ a; b ].

Определение. Функция f называется кусочно непрерывной на [ a; b ], если она непрерывна на [ a; b ], кроме конечного числа точек разрыва, и притом только первого рода.

Следствие. Если функция f кусочно непрерывна на [ a; b ], то она интегрируема на [ a; b ].

Лемма. Пусть f и g определены на [ a; b ] и f (x)= g (x) " x (a; b). Тогда, если f интегрируема на [ a; b ], то и g интегрируема на [ a; b ] и

.

Лемма утверждает, что если f интегрируема на [ a; b ], то её интегрируемость и величина определённого интеграла не изменится, если изменить значения функции f на концах отрезка и также в любом конечном числе точек отрезка.

Множество всех функций, интегрируемых по Риману на [ a; b ] обозначают R [ a; b ]. Т. о., f R [ a; b ] тогда и только тогда, когда f R (a; b).

Расширим понятие определённого интеграла. Будем считать по определению, что .

Лк3(2ч)

Дата добавления: 2015-07-16