Существование первообразной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Лк4(3ч)

Пусть f R [ a; b ]. Тогда " x: a ≤ x ≤ b f R [ a; x ], т.е. существует . Переменную интегрирования обозначим через t, чтобы не смешивать её с верхним пределом x. Это можно сделать, т.к. величина определённого интеграла не зависит от буквенного обозначения переменной интегрирования. Рассмотрим функцию Ф (х) ,(1)

определённую на [ a; b ]. Она называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Если f (x) непрерывна на [ a; b ], то функция Ф (x) имеет производную в каждой точке x Î[ a; b ], причём Ф¢ (x)= f (x). (2)

Доказательство.

Выберем произвольно точку x ₀ [ a; b ]. Точке x ₀ придадим приращение Δ x ≠0 так, чтобы x ₀+Δ x [ a; b ]. Тогда Ф (x) получит приращение

Δ Ф (x ₀)= Ф (x ₀+Δ x) -Ф (x ₀)=

,

где c [ x ₀; x ₀+Δ x ] (по теореме о среднем). При Δ x →0 c → x ₀.

. (3)

По условию f непрерывна в точке x ₀ (т.к. f C [ a; b ]). Следовательно, существует .

Т.к. существует предел правой части равенства (3), равный f (x ₀), то существует и предел левой части равный Ф¢ (x ₀). Переходя в равенстве (3) к пределу, получим Ф¢ (x ₀)= f (x ₀).

Итак, если f C [ a; b ], то Ф имеет производную в каждой точке x Î[ a; b ], и при этом Ф¢ (x)= f (x).

Теорема 2. Если f C [ a; b ], то она на [ a; b ] имеет первообразную, причём любая её первообразная имеет вид .

Доказательство.

Т.к. f C [ a; b ], то по теореме 1 Ф (x) дифференцируема на [ a; b ] и Ф¢ (x)= f (x), т.е. Ф (x) является первообразной для f (x) на [ a; b ]. Следовательно, любая первообразная F (x) на [ a; b ] будет иметь вид F (x)= Ф (x)+ C или .

Теорема 3. Пусть f непрерывна на [ a; b ]. Если F (x) является произвольной её первообразной на [ a; b ], то . (4)

Формула (4) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство.

Т.к. f (x)Î С [ a; b ], то она на [ a; b ] имеет первообразную. Пусть F - произвольная первообразная для f (x) на [ a; b ], и пусть . По теореме 1 функция Ф (x) также является первообразной для f на [ a; b ]. Итак, функции F (x) и Ф (х) являются первообразными для одной и той же функции, значит, они отличаются на постоянную, т.е. Ф (x)= F (x)+ C ₀, x [ a; b ]. Следовательно, .

Положим здесь x = a, получим, С ₀= -F (a). Отсюда, .

Положим здесь x = b, получим .

Обозначим . Тогда формула Ньютона-Лейбница примет вид .

Дата добавления: 2015-07-16