|
Читайте также: |
Определение. Функция f (x) называется непрерывно дифференцируемой на [ a; b ], если она непрерывна на [ a; b ] и её производная f ¢ тоже непрерывна на [ a; b ].
Множество всех функций, определённых и непрерывно дифференцируемых на [ a; b ] обозначают C 1[ a; b ].
Теорема 1. Если u = u (x) и v = v (x) непрерывно дифференцируемы на [ a; b ], то 
. (1)
Доказательство.
По условию u и v имеют непрерывные производные на [ a; b ]. Следовательно, функция uv имеет непрерывную производную на [ a; b ].
(u (x) v (x))¢= u¢ (x) v (x)+ u (x) v¢ (x). Отсюда следует, что функция uv является первообразной для (u¢ v + uv¢), непрерывной на [ a; b ]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница 
. По свойству интеграла
. Отсюда получаем (1). 
Замечание. u¢ (x) dx = du, v¢ (x) dx = dv, следовательно, формула (1) может быть записана в виде 
.
Теорема 2. Пусть 1) f 
C [ a; b ],
2) x = φ (t) C 1[ α; β ] –однозначная функция и " t [ α; β ] x = φ (t) [ a; b ] (т.е. φ [ α; β ]Ì[ a; b ]),
3) φ (α)= a, φ (β)= b.
Тогда справедлива формула 
. (2)
Доказательство.
Т.к. f C [ a; b ], то она имеет первообразную. По формуле Ньютона-Лейбница 
. (3)
Рассмотрим функцию F (φ (t)).
(F (φ (t))¢= F¢x (φ (t)) φ¢t (t)= f (φ (t)) φ¢ (t), т.к. F¢ (x)= f (x). Отсюда следует, что функция F (φ (t)) является первообразной для f (φ (t)) φ¢ (t) на [ α; β ]. Поэтому, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим
. (4)
Из равенств (3) и (4) следует равенство (2)
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 59 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Существование первообразной функции. Формула Ньютона-Лейбница. | | | Примечание! |