Использование кодов Рида—Соломона для исправления стираний

Код Рида—Соломона с минимальным расстоянием d может исправлять d —1 или менее стираний. При этом под стиранием понимается такое состояние приемника, когда значение сигнала попадает в так называемую зону неопределенности. Для кас­кадных кодов под стиранием понимают «маскирование». Это означает, что на предшествующем уровне декодирования при­меняют код, обнаруживающий ошибки, что позволяет пометить специальным образом элементы кодовых комбинаций с обнару­женными ошибками. Таким образом, при передаче кодового вектора по стирающему каналу на приемной стороне становят­ся известными номера позиций Х₁,X₂,..., X_t со стираниями пли отмеченные специальной «маской». Поэтому задачей деко­дирования является определение неизвестных кодовых элемен­тов, расположенных на этих позициях. Алгоритм исправления стираний мало чем отличается от исправления ошибок и сво­дится к решению системы уравнений (6.8) относительно неиз­вестных Y_t, которые являются значениями стертых символов комбинации либо значениями вектора ошибок в позициях, по­меченных «масками».

Рассмотрим пример исправления стираний. Пусть (п, k)— код Рида—Соломона с образующим полиномом g(x) = (х + 1)(x+ а) имеет минимальное расстояние d = 3. Тогда такой код исправляет одно или два стирания. Проверочная матрица имеет вид (6.17).

Пусть далее, а — примитивный элемент поля GF (2³) с по­рождающим полиномом Р (х) = 1 + х+x ³. Тогда, выбрав дли­ну комбинации n = 2³—1, мы построим код (7, 5), который может исправлять одно или два стирания или однократную ошибку без стираний.

Рассмотрим передачу по стирающему каналу кодового век-гора

(c₀c₁c₂c₃c₄c₅c₆)=(a⁶1aa²a³a⁴a⁵),

где элементы с_i являются коэффициентами разрешенной ко­довой комбинации кода (7, 5), представленной полиномом (6.1). Предположим, что в результате приема имели место два стирания и были стерты элементы c₂и с₄ и тогда на декодер поступит комбинация (а⁶ 1 0 а² 0 а⁴ а⁵). Таким образом стер­тые позиции Х₁ = х² и Х₂ = х⁴ известны. Умножив принятый вектор со стираниями на Н^T в соответствии с (6.17), получим значения синдромов

S₀=Y₁+Y₂=1

S₁=Y₁X₁+Y₂X₂=a

Решая полученную систему уравнений относительно значе­ний стертых символов Y₁ и Y₂ находим:

Y₁=(S₁+X₂S₀)/(X₁+X₂)=a;

Y₂=S₀+Y₁=a³.

Таким образом, зная номера X₁ и X₂ стертых символов, мо­жет быть осуществлено исправление стираний путем замены, ну­лей найденными значениями Y₁и Y₂.

Дата добавления: 2015-07-16