Построение кодов Рида-Соломона

Систематические коды Рида-Соломона, исправляющие однократные ошибки, отличаются более простой реализацией. Эти (n,k) коды характеризуются минимальным кодовым расстоянием d_min=3, образующим полиномом g(x)=(x+1)(x+a) и проверочной матрицей

Учитывая (6.8), выражения для синдромов So и S₁ в случае однократной ошибки с полиномом е (х) = YX будут следующие:

=Y

S₁=e(a)-Yaⁱ, (6.18)

где X = аⁱ — локатор ошибки, указывающий на i-ю ошибочную позицию в комбинации, a Y — значение ошибки. Из уравнений (6.18) видно, что

S₁a^-i+S₀=0 (6.19)

Уравнение (6.19) позволяет легко осуществить исправление ошибки.

Для этого при выводе из буферного накопителя 1-го элемента кодовой комбинации h-_t каждый раз будем умножать синдром S₁ на a^-i и сравнивать с S_Q. В тот момент, когда бу­дет выполняться уравнение (6.19), к выходному элементу hследует добавить по модулю два синдром S_o, который пред­ставляет собой значение ошибки. Тем самым ошибка будет ис­правлена.

Функциональная схема декодера, исправляющего однократ­ные ошибки, представлена на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Функциональная схема декодера кода

Рида—Соломона, исправляющего однократные

ошибки

При решении некоторых задач целесообразно построить код Рида—Соломона с d_min > 3, который исправлял бы однократ­ные ошибки и обнаруживал ошибки более высокой кратности. Очевидно, принцип построения кодирующего устройства не бу­дет отличаться от рассмотренного выше. Процедура же деко­дирования упростится. Рассмотрим процедуру исправления од­нократных ошибок и обнаружения ошибок более высокой крат­ности для того же примера кода, который был ранее выбран для исправления двухкратных ошибок, а именно для кода (п, k) == (7, 3) с d_min= 5; Р (х) = 1 + х + х³ и образующим

Задачей декодера является исправление однократной ошибки и
обнаружение всех ошибок второй и третьей кратности. Очевид­
но, в состав декодера должен входить индикатор однократной
ошибки. Проанализировав выражения (6.20) для синдромов
при однократной ошибке, легко заметить, что

Отсюда следует вывод, что индикатором однократной ошиб­ки будет одновременное выполнение уравнений (6.21) при нену­левых синдромах. Если все четыре синдрома равны нулю, то это свидетельствует об отсутствии или необнаружении ошибок. Если же все или часть синдромов не равны нулю и хотя бы одно из уравнений (6.21) не выполняется, то это говорит о воз­никновении ошибок второй или большей кратности, которые обнаружены кодом.

Рис. 6.7. Обобщенная схема декодера кода Ри­ла—Соломона, исправляющего однократные ошибки и обнаруживающего часть ошибок более вы­сокой кратности

Процедура непосредственного исправления однократной ошибки не отличается от рассмотренной ранее для кодов Ри­да— Соломона с d_min = 3,

Схема декодера кода PC, исправляющего однократные ошибки с обнаружением ошибок более высокой кратности, пред­ставлена на рис. 6.7. В случае однократной ошибки появится сигнал на выходе Qиндикатора однократной ошибки и будет удерживаться в течение считывания принятой комбинации кода PC из буферного накопителя. Этот сигнал Q совместно с сигна­лом со схемы сравнения откроют ключ, который пропустит сидром S_o на выходной сумматор в момент считывания из на­копителя ошибочного элемента. Таким образом ошибка будет исправлена.

В случае появления обнаруживаемых ошибок второй или большей кратности на другом выходе индикатора однократной ошибки появится сигнал Q, с помощью которого в случае необ­ходимости можно стереть принятую с ошибками кодовую ком­бинацию.

Рассмотрим пример исправления однократной ошибки для кода (7, 3) с теми же, что и ранее образующими многочленами Р (х) и g (х). Пусть полином ошибки равен e(x) = YX, где Y = а⁴ — значение ошибки, а X = а³ — локатор ошибки. Тогда на основании (6.20) синдромы будут иметь значения:

Подставив значения синдромов в уравнения (6.21), заметим, что все три сравнения выполняются, т. е. имеет место одно­кратная ошибка.

Аналогично можно показать, что при двухкратных и трех­кратных ошибках уравнения (6.21) не выполняются, что сви­детельствует об обнаружении ошибок.

Дата добавления: 2015-07-16