Понятие дедуктивной теории

Не любые исчисления являются объектом рассмотрения в логике. В логическом синтаксисе рассматриваются исчисления особого типа. Прежде всего правила этих исчислений устанавливают, какого рода слова являются термами, формулами (предложениями). Эти правила формулируются в метаязыке и называются правилами образования. Но этого мало – в логическом синтаксисе рассматриваются "языки" с логикой, т.е. такие исчисления, которые в операциях со словами воспроизводят процедуры логической дедукции. Такого рода исчисления задаются двумя группами правил: правилами образования и правилами преобразования, - и называются обычно формальными системами. Правила преобразования детерминируют, какие слова (или последовательности слов) являются аксиомами, доказательствами, выводами из посылок. Формальные системы, удовлетворяющие сильному требованию эффективности, т.е. системы, для которых принадлежность к следующим классам объектов: исходным символам, формулам (предложениям), аксиомам, доказательствам – устанавливается эффективным образом (эти классы разрешимы), называют логистическими системами. Логический синтаксис, по существу, является теорией такого рода формальных, логистических систем.

Формальные, логистические системы являются именно теми "языками" логики с точным образом заданной структурой, интерпретацией которых занимается логическая семантика. Как видим, эти "языки" представляют собой исчисления особого рода и используются в логике как инструмент для эффективного воспроизведения логической дедукции. Логическая семантика предполагает логический синтаксис – как бы надстраивается над ним. Но "языки2, рассматриваемые в логическом синтаксисе, представляют собой просто системы материальных объектов – конструктивных объектов, - рассматриваемых вне их смысла и значения. Только в семантике получают они свою интерпретацию и действительно становятся системами, воспроизводящими логические рассуждения, логическое следование.

Семантическая непротиворечивость и семантическая полнота

Отметим, что не всякий класс выражений, обладающих некоторым интересующим нас свойством, можно задать процессом порождения, представить как множество слов, доказуемых в некотором исчислении. Свойство D формализуемо, если существует такое исчисление И, что все слова, доказуемые в этом исчислении, обладают свойством D. В этом случае говорят, что исчисление И семантически непротиворечиво относительно этого свойства. Если имеет место обратное: все слова, обладающие свойством D (например, истинные предложения некоторой теории), доказуемы в некотором исчислении И, - то говорят, что формализация свойства D в исчислении является полной, а исчисление И – семантически полным относительно этого свойства.

Так, класс логически-истинных утверждений логики высказываний может быть представлен как класс слов (формул), доказуемых в некотором исчислении (исчислении высказываний), и такая формализация будет полной.

Дата добавления: 2015-07-16