Построение синтаксиса языка исчисления классов. Метаязык, адекватный для построения синтаксиса.

Система аксиом метаязыка состоит из двух частей, соответствующих двум категориям выражений метаязыка.

1) Общелогические законы. Тарский не говорит о них, так как они известны.

2) Специфические аксиомы метаязыка.

Специфические аксиомы метаязыка описывают элементарные свойства вышеописанных структурно-дескриптивных понятий. (Тарский.)

Аксиомы – это неявные определения знаков. Исходные выражения синтаксиса задаются с помощью аксиом.

А1. ng, sm, al, in – выражения; среди них нет двух идентичных.

А2. Vk – выражение, если к>0. Vk отлично от ng, sm, al, in, а также, если k≠l, от всякого выражения Vl.

А3. x y выражение, если x и y – выражения; x y отлично от ng, sm, al, in, а также от всякого выражения Vk.

А4. Если x, y, z и t – выражения, то x y=z t имеет место, е.т.е. выполнено одно из условий:

- x=z и y=t;

- имеется некоторое выражение u, такое что x=z u и t=u y.

- имеется такое выражение u, что z=x y и y=u t.

А5. X – класс, который выполняет следующие условия:

1) ng, sm, al, in X;

2) Vk X;

3) x, y X;

4) x y X.

Тогда всякое выражение принадлежит к классу X. (Т.е. X – завершенный класс выражений, ничто другое выражением не является.)

С помощью этих синтаксических аксиом вводятся понятия выражения и равенства выражений. Т.е. исходными, неопределяемыми синтаксическими понятиями являются понятие выражения языка и понятие равенства выражений языка.

Используя ранее перечисленные выражения и символы языка, я буду отныне определять те понятия, которые придают исчислению классов характер формальной (формализованной) дедуктивной науки, а именно понятия высказывания, аксиомы (основного предложения), следований и доказуемого предложения. (Тарский.)

О12. х есть высказывание – символически х - т.т.т., когда х есть функция высказывание и при этом никакая переменная Vk не является свободной переменной функции х.

О18. Х есть дедуктивная система т.т.т., когда Fl(X) X As

Х – класс высказываний.

Fl(X) – это класс тех предложений, которые (формально) выводятся из класса Х.

Т.е. класс высказываний Х есть дедуктивная система, если все то, что формально из него выводится, само принадлежит ему.

Х – дедуктивная система, если Х = классу формул, которые из него выводимы.

NB: все то, что формально выводимо из класса формул, само является формулой. Значит, класс формул – дедуктивная система.

О19. Х есть непротиворечивый класс высказываний т.т.т., когда Х As и для любого высказывания x – или x Fl(X), или x Fl(X).

О20. Х есть полный класс высказываний т.т.т., когда Х As и для любого высказывания x – или x Fl(X), или x Fl(X).

Метаязык, адекватный для построения синтаксиса

В том случае, если семантические понятия вводятся посредством определений, к метаязыку предъявляются следующие требования:

1) В нем имеются средства для описания синтаксических свойств объектного языка, в частности имеются средства для построения имен выражений объектного языка.

2) Метаязык должен быть настолько богат, чтобы для каждой формулы объектного языка существовала бы формула метаязыка, являющаяся переводом первой; другими словами, ВТО то, что можно утверждать в терминах объектного языка, может быть сказано в метаязыке.

3) Метаязык должен содержать логический словарь не менее богатый, чем в объектном языке.

4) Существенным для метаязыка является то, что в него помимо переменных тех же самых семантических категорий, что и в объектном языке, должны входить дополнительные переменные, принадлежащие к более высокому порядку.

10. Построение семантики языка исчисления классов. Определение понятия истинности. Корректность и адекватность. Роль конвенции.

Дата добавления: 2015-07-16