Методические указания. Пусть задана непрерывная функция , и требуется найти корни уравнения

Пусть задана непрерывная функция, и требуется найти корни уравнения. Локализация корней заключается в определении отрезка [A, B], на котором функция принимает значения разных знаков, т.е.. Тогда по теореме Больцано-Коши внутри отрезка существует такая точка С, что. Определение числа корней функции и выделение содержащих их отрезков осуществляется с помощью исследования графика функции.

Пусть отрезок [ A, B ] определен. Итерационный метод бисекций состоит в построении вложенных последовательности отрезков , на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения последовательности отрезков позволяет найти корень функции с любой заданной точностью.

Опишем один шаг итераций. Пусть на (п -1)-м шаге найден отрезок такой, что . Разделим его пополам точкой и вычислим значение . Если , то С – корень уравнения. Если , то из двух половин отрезка выберем ту, на концах которой функция принимает разные знаки, т.к. корень находится в этой половине.

, если , (5)

, если . (6)

Если точность нахождения корня e задана, то итерационный процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка станет не меньше 2e. Тогда координата середины отрезка и есть значение корня с требуемой точностью.

Метод бисекций – надежный способ отыскания простых корней функции. Он сходится для любых непрерывных, в том числе и недифференцируемых функций, однако скорость сходимости невелика. Для достижения заданной точности e необходимо совершить N итераций, где

. (7)

Метод неприменим для отыскания кратных корней четного порядка. В случае отыскания корней нечетной кратности он менее точен.

Дата добавления: 2015-07-19