Розв'язок гри в чистих стратегіях

Припустимо, що гравець А має m можливих варіантів поведінки (стратегій). Позначимо їх АІ;А2, ..., Аm.Кількість стратегій гравця А має бути не меншою 2 ().

Нехай за результатами аналізу також з'ясовано, що наш опонент, гравець В,має n можливих варіантів поведінки (стратегій): В1, В2,..., Вn.Кількість стратегій гравця В також має бути не меншою 2 ().

Тоді така гра називається грою розмірністю т х п, оскільки саме стільки є можливих комбінацій стратегій гравців А і В.

Назва цього метода "розв'язок гри в чистих стратегіях" зумовлена тим, що до сформульованих загальних вимог до застосування цього апарату аналізу додається ще одна: кожен із гравців повинен обрати одну єдину оптимальну стратегію. І така пара оптимальних стратегій (по одній для кожного з двох гравців) повинна гарантувати оптимальний компроміс інтересів кожного з учасників конфліктної ситуації.

Коли набір стратегій для кожного з гравців сформовано, можна будувати платіжну матрицю гри. Рядки цієї матриці відповідають стратегіям гравця А,і позначаються А_i, . Стовпчики цієї матриці відповідають стратегіям гравця В, і позначаються В_j, .

На перетині кожного i-го рядка матриці та j-го стовпчика розміщуються елементи d_ij, що для матриці виграшів показують фінансовий результат, який отримає гравець А від застосування стратегії А_i, тоді як його опонент обрав стратегію В_j. Якщо це число додатне, то гравець А отримує виграш в розмірі d_ij, якщо від'ємне — то програш (зазнає збитків). Відповідно нульове значення елемента платіжної матриці означатиме, що гравець А, як і гравець В,не отримає ні виграшу, ні програшу.

У схематичному вигляді платіжну матрицю наведено в табл. 8.1.

Таблиця 8.1.

Загальний вигляд платіжної матриці

A	B1	B2	...	Bn
B
A1	d11	d12	...	d1n
A2	d21	d22	...	d2n
...	...	...	...	...
Am	dm1	dm2	...	dmn

Ще раз нагадаємо, що оскільки гра антагоністична, то виграші гравця А дорівнюють програшам гравця В, тобто платіжна матриця для гравця В буде різнитися від платіжної матриці гравця А лише знаками елементів, а по модулю вони будуть однаковими. Це міркування дає змогу у випадку антагоністичної гри не будувати окрему платіжну матрицю для гравця В, а здійснювати аналіз на основі єдиної матриці гравця А.

Коли платіжна матриця побудована, можна спробувати розв'язати гру в чистих стратегіях. Для цього визначають дві характеристики платіжної матриці — нижню та верхню ціну гри.

Алгоритм пошуку нижньої ціни гри.

Фіксується перший рядок і з усіх його елементів знаходять і запам'ятовують найменше значення.

Процедура пункту 1 повторюється для всіх рядків платіжної матриці. В результаті маємо набір мінімальних елементів з кожного рядка.

З обраних мінімальних елементів знаходиться найбільше значення, яке і буде нижньою ціною гри. А рядок, в котрому розташовується цей елемент, відповідає стратегії, вибір якої гарантує гравцю А виграш не менший, ніж нижня ціна гри.

Алгоритм пошуку верхньої ціни гри.

1. Фіксується перший стовпчик і з усіх його елементів знаходять і запам'ятовують найбільше значення.

2. Процедура пункту 1 повторюється для всіх стовпчиків платіжної матриці. В результаті маємо набір максимальних елементів з кожного стовпчика.

3. З обраних максимальних елементів стовпчиків знаходять найменше значення, яке буде верхньою ціною гри. А стовпчик, у котрому розташовується цей елемент, відповідає стратегії, вибір якої гарантує гравцю В, що його програш не перевищить верхню ціну гри.

Коли верхня і нижня ціна гри визначені, слід перевірити, чи наявна в матриці сідлова точка .

Проілюструємо наведений матеріал на прикладі.

Завдання. Припустимо, що ми маємо антагоністичну гру. Гравець Амає три стратегії, В— чотири. Нехай змістовна частина гри проаналізована і на основі цього побудована платіжна матриця, наведена в таблиці 8.2.:

Таблиця 8.2.

A	B1	B2	B3	B4
B
A1			-25
A2	-30	-15
A3

Визначити можливість розв'язання гри в чистих стратегіях.

Розв'язок

Спочатку визначимо нижню ціну гри.

1. Знайдемо і зафіксуємо мінімальний елемент з першого рядка. Це елемент d13= -25.

2. Знайдемо мінімальні елементи з другого і третього рядків. Це елементи d21=-30 та d32= 10 відповідно.

3. З обраних елементів знайдемо найбільший.

Таким чином, нижня ціна гри дорівнює 10. Це означає, що в разі вибору гравцем А стратегії А3за будь-яких варіантів поведінки гравця В, гравець А забезпечить собі виграш не менше ніж 10.

Тепер визначимо верхню ціну гри.

1. Знайдемо і зафіксуємо максимальний елемент з першого стовпчика. Це елемент d₁₁= 40.

2. Знайдемо максимальні елементи з другого, третього і четвертого стовпчиків. Це елементи d32= 10, d23 = 30 та d14= 35 відповідно.

3. З обраних елементів знайдемо найменший.

Таким чином, верхня ціна гри теж дорівнює 10, тобто в разі вибору гравцем B стратегії В2за будь-яких варіантів поведінки гравця А, він Вне програє більше ніж 10.

Таким чином, Це означає, що між сторонaми А і В виникає раціональний компроміс, який полягає в тому, що гравцю А слід обрати стратегію А3, а гравцю В — стратегію В2 відповідно. В результаті гравець А отримає виграш в 10 одиниць, а гравець В — програє в таких самих обсягах. Раціональність цього компромісу полягає в тому, що гравець, який в односторонньому порядку порушує рівновагу і відхиляється від оптимальної стратегії, гарантовано погіршить своє становище (отримає або менший виграш, або ще більші збитки). Отже, наведена гра має розв'язок у чистих стратегіях і цей розв'язок знайдено.

Дата добавления: 2015-07-16