Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Данный метод заключается в том, что рассчитывается последовательность точек функции x(t), причем приращения функции рассчитываются путем усреднения промежуточных коэффициентов К₁, К₂, К₃ и К₄:

где ,

,

,

.

Пример:

Для уравнения запишем формулу расчета функции x(t) согласно методу Рунге-Кутта 4-го порядка:

Решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка с помощью функции rkfixed.

Пусть имеется уравнение вида: .

Необходимо найти его решение на интервале [ a, b ] при начальном условии x(0)=x₀.

В математическом редакторе MathCad существует встроенная функция rkfixed, которая сама осуществляет решение методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Использовать её необходимо следующим образом.

Сначала задаются параметры, которые будут передаваться в указанную функцию:

x – вектор начальных условий, в данном случае вектор из одного элемента;

a, b – границы интервала для поиска решения;

n – количество точек на интервале;

D(t,x) – вектор-функция первых производных, в данном случае вектор из одного элемента.

Вызов функции осуществляется так:

rkfixed(x,a,b,n,D)

Пример:

Контрольные вопросы

1. Сформулировать задачу Коши 1-го порядка.

2. Воспроизвести и объяснить геометрическую интерпретацию метода Эйлера.

3. Воспроизвести и объяснить геометрическую интерпретацию модифицированного метода Эйлера.

4. Воспроизвести и объяснить геометрическую интерпретацию метода Эйлера-Коши.

5. Привести математическую формулировку решения по методу Эйлера-Коши на конкретном примере.

6. Привести математическую формулировку решения по модифицированному методу Эйлера на конкретном примере.

7. Привести математическую формулировку решения по методу Рунге-Кутта 4-го порядка на конкретном примере.

8. Составить схему алгоритма решения дифференциального уравнения одним из методов.

5. Требования к отчету.

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, математическую формулировку, схему алгоритма, листинг программы, распечатку результатов, графики, анализ полученных результатов.

Дата добавления: 2015-11-14