Порядок выполнения работы

1. Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.

2. Получить у преподавателя номер варианта.

3. В соответствии с пунктом 1 задания решить дифференциальное уравнение 1-го порядка 4-мя методами, с этой целью представить математическую формулировку решения для всех изучаемых методов, составить схему алгоритма решения и написать программу в среде СИ++ или MathCad.

4. Отладить программу и получить результаты расчетов.

5. Провести проверку полученного решения с помощью встроенной в MathCad функции rkfixed.

6. Провести анализ полученных результатов.

Краткие теоретические сведения

Пусть имеется дифференциальное уравнение вида:

.

Необходимо решить данное уравнение на интервале [a, b]. Начальные условия: x(0)=x₀.

Численный метод позволяет осуществить расчет последовательности значений функции f(x,t) путем организации итерационного процесса, где последующее значение функции будет рассчитываться через предыдущее.

Метод Эйлера

Представим функцию x(t) дискретно с интервалом дискретизации Δt (рис. 1).

– две стоящие рядом точки дискретизации.

Проведем в точке касательную I к функции x(t).

Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).

Рис. 1. Иллюстрация к методу Эйлера

Согласно рис. 1:

,

где x_i, x_i+1 – текущая и последующая точки функции x(t) соответственно;

Δx – приращение функции x(t) на интервале Δt.

Величину Δx найдем из прямоугольного треугольника с углом a:

.

Геометрический смысл первой производной функции: тангенс угла наклона касательной к функции x(t) в точке равен первой производной функции x(t) в этой точке. Поэтому:

.

В результате получим формулу:

.

Пример:

Для уравнения запишем формулу расчета функции x(t) согласно методу Эйлера:

.

Метод Эйлера наиболее прост в реализации, но дает большую погрешность в вычислениях, которую можно понизить путем уменьшения шага дискретизации Δt.

Модифицированный метод Эйлера

Рис. 2. Иллюстрация к модифицированному методу Эйлера

Проведем в точке касательную I к функции x(t). Она пройдет под углом a.

Разделим интервал дискретизации Δt пополам с помощью точки t_i+1/2. Точку пересечения касательной I с вертикалью t_i+1/2 назовем промежуточной точкой x_i*.

Если предположить, что функция x(t) проходит черезпромежуточную точку (x_i*,t_i+1/2), то в ней также можно построить касательную II к функции x(t). Касательная II пройдет под углом b.

Через точку (x_i,t_i) проведем прямую III параллельно прямой II. Она тоже пройдет под углом b.

Точка пересечения прямой III с вертикалью t_i+1 представляет собой следующую искомую точку (x_i+1,t_i+1) функции x(t).

Осуществим вывод формулы для расчета функции x(t).

Согласно рис. 2:

,

где x_i, x_i+1 – текущая и последующая точки функции x(t) соответственно;

Δx – приращение функции x(t) на интервале Δt.

Величину Δx найдем из прямоугольного треугольника с углом b:

.

Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:

,

,

.

Величину Δx* найдем из прямоугольного треугольника с углом a:

.

Согласно геометрическому смыслу первой производной функции:

.

Подставив все полученные значения в исходную формулу, получим:

.

Пример:

Для уравнения запишем формулу расчета функции x(t) согласно модифицированному методу Эйлера:

.

Дата добавления: 2015-11-14