Властивості умовної ймовірності.

В1) ;

В2) P (Ø /B) = 0;

В3) Якщо події і несумісні, тобто Ø, то .

В4) .

Тобто умовна ймовірність має всі властивості безумовної.

Теорема 5. Ймовірність перетину подій А та В дорівнює добутку ймовірності однієї з подій на умовну ймовірність другої за умови, що перша подія відбулася

(8)

Цю теорему називають теоремою множення ймовірностей. Для її доведення припустимо, що множина А, яка відповідає події А, містить п+т рівноможливих елементарних подій , а множина В, яка відповідає події В, містить рівноможливих елементарних подій . Усіх можливих наслідків , а події А∙В сприятиме т рівноможливих елементарних подій . Тому за класичним визначенням ймовірності , а , . Тому , що і треба було довести.

На підставі цієї теореми умовну ймовірністьподії А за умови, що подія В відбулася можна обчислити за формулою

(9)

Використовуючи цю теорему можна показати, що для довільної кількості подій справедлива формула

. (10)

Нехай, наприклад, у корзині є 10 троянд – 7 білого і 3 червоного кольору. Навмання одну за одною з корзини виймають три троянди. Яка ймовірність того, що всі вони будуть білого кольору?

Розв’язати цю задачу можна двома способами. Спочатку розв’яжемо її, використавши формули комбінаторики. Оскільки ми могли вибрати будь-які три троянди з усіх десяти, а вибрали їх точно із білих, яких є сім, і порядок вибору не має значення, то шукана ймовірність дорівнює

.

Однак, для знаходження шуканої ймовірності можна скористатися наслідком теореми 5, а саме формулою (10). Позначимо подію, яка означає, що за і -им разом ми вибрали троянду білого кольору. Очевидно, що події є залежними. Тому

.

Однакові результати в обох випадках підтверджують правильність використаних формул.

Випадкові події А та В називаються залежними, якщо ймовірність появи однієї з них залежить від появи чи не появи іншої події.

Припустимо, що подія В відбулася. Подія А називається незалежною від події В, якщо поява події А не залежить від появи чи непояви події В. Тоді Р(А/В)=Р(А) при умові, що Р(В)> 0.

Події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від появи чи непояви іншої події. Для незалежних подій справджується формула

Дата добавления: 2015-11-14