Теоретичні положення

В попередніх розділах ми розглядали випадкові події. Крім випадкової події, одним з основних понять теорії ймовірностей є випадкова величина. Так, наприклад, при підкиданні грального кубика випадкові події, які полягають у випаданні на верхній його поверхні кількості очок 1, 2, 3, 4, 5 чи 6, можна інтерпретувати як можливі значення величини, яку далі ми будемо називати випадковою.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в результаті випробування приймає лише одне числове значення, заздалегідь невідоме і обумовлене випадковими причинами.

Якщо, наприклад, ми підкидаємо дві монети, то в якості елементарних можна взяти такі події: = ГГ = {на першій монеті випав “герб”, на другій – також “герб”}; = ГЦ = {на першій монеті випав “герб”, на другій – “цифра”}; = ЦГ = {на першій монеті випала “цифра”, на другій – “герб”}; = ЦЦ = {на першій монеті випала “цифра”, на другій – також “цифра”}. Звідси, кількість “гербів” , які випали, є функцією від елементарної події

(ГГ) = 2, (ГЦ) = 1, (ЦГ) = 1, (ЦЦ) = 0.

Оскільки результат випробування є випадковим, то значення є випадковим. Функція – випадкова величина, що визначена на множині елементарних подій Тобто, по іншому, в ипадковою величиною називають числову функцію , яка визначена на множині .

Випадкові величини бувають дискретними та неперервними.

Дискретною випадковою величиною називають таку величину, яка може приймати скінченну чи зліченну кількість значень з певними ймовірностями.

Наведені вище приклади були прикладами дискретних випадкових величин. Зокрема, в прикладі про підкидання двох монет, випадкова величина , що дорівнює кількості “гербів”, які випали, може приймати тільки три значення: нуль, один чи два. Оскільки елементарні події рівноможливі, то ймовірності кожної з них дорівнюють 1/4. Враховуючи несумісність подій та , можна стверджувати, що ймовірність того, що випадкова величина прийме своє значення нуль, або один чи два, відповідно дорівнює 1/4, 1/2 та 1/4. Звідси стає очевидним, що для задання випадкової величини крім її значень потрібно вказати ймовірності, з якими вони можуть появитися. Дискретну випадкову величину задає її закон розподілу.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називають таке співвідношення, яке встановлює відповідність між кожним можливим значенням випадкової величини і його ймовірністю . Причому

Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати трьома способами: аналітичним, табличним і графічним. При першому з них окремо задаються можливі значення випадкової величини , а відповідні їм ймовірності розраховуються за наперед заданою функцією.

При табличному заданні закону розподілу можливі значення випадкової величини і їхні ймовірності задають у вигляді такої таблиці:

Таблиця 1

			…		…
			…		…

Сума ймовірностей, які записані у другому рядку цієї таблиці має дорівнювати одиниці. Таблицю 1 ще називають рядом розподілу випадкової величини.

Графічно задають закон розподілу дискретної випадкової величини таким чином: на координатній площині з прямокутною системою координат наносять точки , де відкладають на осі абсцис, а – на осі ординат. Якщо тепер з’єднати сусідні точки відрізками, то одержана ламана лінія називається многокутником розподілу випадкової величини.

Часто трапляються дискретні випадкові величини, що можуть приймати лише цілочислові значення. На особливу увагу заслуговують цілочислові випадкові величини, можливі значення яких є послідовні невід’ємні цілі числа 0, 1, 2, …. Такі величини досить часто описують реальні задачі. Залежно від того, за якою формулою будуть обчислюватися ймовірності , ці закони мають свою назву.

Для повнішої характеристики випадкової величини використовують функцію розподілу. Функція дійсної змінної , яка визначається ймовірністю того, що випадкова величина в результаті випробування прийме значення, менше за , тобто

(1)

називається функцією розподілу цієї випадкової величини. Якщо зрозуміло про яку випадкову величину йде мова, то індекс у позначенні функції розподілу опускають.

Цю функцію вводять як для дискретних, так і неперервних випадкових величин. На підставі формули (1), функцію розподілу дискретної випадкової величини визначають рівністю

(2)

де .

Функція розподілу має такі властивості:

1) значення функції розподілу належать проміжку , тобто

2)

3) функція розподілу неспадна, тобто, якщо то

4) функція розподілу ненеперервна зліва, тобто,

5) ймовірність того, що випадкова величина набуде значення з напівінтервалу обчислюється за формулою

(3)

6)

Поняття неперервної випадкової величини можна вводити по різному. Зокрема, випадкову величину називають неперервною (абсолютно), якщо існує невід’ємна функція така, що для всіх її функцію розподілу можна зобразити у вигляді

(4)

Будемо розглядати лише такі випадкові величини, для яких функція є неперервною, крім, можливо, скінченої кількості точок. Функцію називають щільністю розподілу. Графік функції називають кривою розподілу.

Властивості щільності розподілу:

1)

2) в точках неперервності

3)

4) площа фігури, обмеженої графіком щільності розподілу і віссю дорівнює одиниці, тобто

Якщо випадкова величина є неперервною, то ймовірність того, що вона прийме наперед задане значення дорівнює нулю. Для цієї випадкової величини виконуються рівності

(5)

Функція розподілу випадкової величини у будь-якій точці ставить у відповідність ймовірність Часом виникає зворотна задача: за заданим значенням знайти таке , щоб

. (6)

Дійсне число (), яке задовольняє рівнянню (6), називається квантилем порядку (симетричним квантилем порядку ).

На підставі відомої функції розподілу випадкової величини ми будемо мати повну інформацію про закон розподілу цієї величини. Але ця функція не завжди відома. Крім цього, часом збільшення обсягів інформації про якийсь об’єкт зменшує наочне уявлення про нього.

Наприклад, при порівнянні двох регіонів за величиною доходів їх сімей, достатньо знати середню величину доходів на одну сім’ю у кожному регіоні. Повна ж інформація про закони розподілу величини доходів сімей у кожному регіоні ускладнює це порівняння. Тому часом вигідніше користуватися числами, які давали б менш повне, але більш наочне уявлення про випадкову величину. Такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини.

Найчастіше використовують три числові характеристики: математичне сподівання, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають число, яке дорівнює сумі добутків усіх можливих значень величини на відповідні їм ймовірності , тобто

(7)

при умові, що ряд для зліченної випадкової величини абсолютно збігається.

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини із щільністю визначають за формулою:

(8)

при умові, що інтеграл збіжний абсолютно.

З імовірнісної точки зору математичне сподівання вказує на те, біля якого числа коливатиметься середнє значення випадкової величини, одержане в результаті спостережень.

Зокрема, в прикладі про підкидання двох монет, випадкова величина , що дорівнює кількості “гербів”, які випали, має такий закон розподілу (див. табл. 2).

Таблиця 2

	1/4	1/2	1/4

Тому математичне сподівання цієї випадкової величини буде дорівнювати

Перш ніж перейти до властивостей математичного сподівання, розглянемо деякі необхідні поняття.

Добуток постійної величини на дискретну випадкову величину є дискретна випадкова величина , якщо можливі її значення рівні добутку на можливі значення , а ймовірності її можливих значень рівні ймовірностям відповідних можливих значень

Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення приймала інша величина, інакше – залежними.

Сумою дискретних випадкових величин та є дискретна випадкова величина , можливі значення якої рівні сумам кожного можливого значення з кожним можливим значенням . Ймовірності можливих значень для незалежних величин рівні добуткам ймовірностей можливих значень відповідних доданків, а для залежних величин – добуткам ймовірності одного доданку на умовну ймовірність другого. Причому ймовірності однакових значень додаються.

Добуток незалежних дискретних випадкових величин та є дискретна випадкова величина , можливі значення якої рівні добуткам кожного можливого значення на кожне можливе значення . Ймовірності можливих значень рівні добуткам ймовірностей можливих значень відповідних множників. Причому ймовірності однакових значень додаються.

Властивості математичного сподівання:

1) математичне сподівання сталої дорівнює цій сталій, тобто де – стала;

2) сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання, тобто ;

3) математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків, тобто ;

4) якщо та незалежні випадкові величини, то

На підставі цих властивостей, можна зробити висновок, що математичне сподівання числа появи події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події. Крім цього, математичне сподівання числа появи події в незалежних випробуваннях дорівнює добутку кількості випробувань на ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні:

Крім математичного сподівання (середнього), для оцінки центра групування випадкової величини часом використовують інші її числові характеристики. Зокрема, при вивченні процесів, зростання яких є пропорційним до вже досягнутого рівня (зростання кількості населення, валового продукту тощо), а також при розрахунках індексів цін використовують середнє геометричне значення випадкової величини , яке розраховують за формулою

(9)

В економіці для індексних розрахунків використовують середнє гармонічне випадкової величини , яке розраховують за формулою

. (10)

Таку числову характеристику, як мода визначають по своєму для дискретної і неперервної випадкових величин. Для першої з них – це її найімовірніше значення, а для другої – це точка максимуму її щільності розподілу оскільки мода може бути неєдиною, то розглядати її як одну з можливих характеристик центра групування можна лише для одномодальних розподілів.

Медіану неперервної випадкової величини визначають з умови

(11)

тобто вона є коренем рівняння

(12)

Якщо розподіл ймовірностей випадкової величини є симетричним щодо деякої прямої і одно модальним, то

(13)

Розглянуті числові характеристики дають уявлення про випадкову величину тільки з однієї сторони, а саме щодо місця знаходження центра групування її значень. З їх допомогою неможливо оцінити рівень розсіювання значень випадкової величини щодо цього центра групування. Тому для розширення уявлення про розподіл ймовірностей випадкової величини використовують характеристики варіацій. Перейдемо до їх розгляду.

На перший погляд може здатися, що для оцінки розсіювання випадкової величини відносно центра групування можна знайти середнє арифметичне різниць значень випадкової величини і її середнього значення. Покажемо, що такий шлях не приведе до бажаного результату.

Нехай – випадкова величина, а – її математичне сподівання. Випадкову величину називають відхиленням. Для нього неважко довести таку теорему: математичне сподівання відхилення дорівнює нулю, тобто

(14)

На підставі цієї теореми робимо висновок, що для оцінки величини розсіювання випадкової величини взяти середнє від відхилення неможливо оскільки воно дорівнює нулю.

Напрошується інший варіант: замінити можливі відхилення їхніми абсолютними значеннями чи квадратами. Оперування з абсолютними величинами часом приводить до серйозних утруднень (не у всіх точках існує похідна тощо). Тому найчастіше використовують другий із цих двох останніх способів, а саме, обчислюють середнє значення квадрата відхилення.

Дисперсією (розсіюванням) випадкової величини називається число , яке дорівнює математичному сподіванню квадрата відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання:

(15)

Конкретизація цієї формули окремо для дискретних і неперервних величин, відповідно дає

(16)

(17)

Дисперсія випадкової величини характеризує розсіяння значень цієї величини навколо її математичного сподівання.

Наприклад, дисперсія випадкової величини , яка дорівнює кількості “гербів”, які випали при підкиданні двох монет (закон розподілу див. табл. 2) буде дорівнювати

Оскільки

,

то звідси одержимо формулу

(18)

Таким чином для обчислення дисперсії замість формули (15) можна використовувати формулу (18), за якою ці обчислення часто можна виконати скоріше, ніж за першою з них. При цьому для дискретної випадкової величини

(19)

а для неперервної

(20)

Зокрема, для випадкової величини, закон розподілу якої заданий таблицею 2,

а

Тобто, величина дисперсії, розрахована за формулами (15) і (18) вийшла однаковою.

Властивості дисперсії:

1) дисперсія будь-якої випадкової величини невід’ємна, тобто

2) де – стала;

3) постійний множник можна виносити за знак дисперсії, при цьому цей множник треба піднести у квадрат

(21)

4) дисперсія алгебраїчної суми двох незалежних випадкових величин та дорівнює сумі їхніх дисперсій

(22)

5)

Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини. Часом потрібно одержати оцінку розсіювання у тих же одиницях, в яких виражені значення самої випадкової величини. Тому, поряд з дисперсією використовують середнє квадратичне відхилення , яке дорівнює квадратному кореню з дисперсії випадкової величини:

(23)

При оцінці розсіювання випадкової величини розмірність не завжди бажана. З цією метою вводять ще безрозмірну числову характеристику, яку називають коефіцієнт варіації , і обчислюють за формулою

(24)

В економіці цей коефіцієнт використовують, наприклад, для моделювання техніко-економічних показників.

Математичне сподівання ураховує всі значення випадкової величини пропорційно їхнім ймовірностям. Для кращого урахування впливу на математичне сподівання тих можливих значень, які великі але мають малу ймовірність, вводять у розгляд початковий та центральний моменти -ого порядку. Величини цих моментів розраховують за такими формулами:

(25)

(26)

Для дискретної випадкової величини ці формули матимуть відповідно такий вигляд

і , (27)

а для неперервної

і (28)

В часткових випадках

Можна показати, що, якщо многокутник розподілу дискретної випадкової величини чи щільність розподілу неперервної випадкової величини симетричні відносно прямої , тобто якщо розподіл ймовірностей випадкової величини симетричний відносно її математичного сподівання, то всі центральні моменти непарного порядку дорівнюють нулю:

Між початковими і центральними моментами є прямий зв'язок. Будь-який центральний момент -ого порядку можна виразити через початкові моменти Зокрема,

(29)

Чим більше моментів випадкової величини відомі, тим більше ми знаємо про її розподіл. Хоча на практиці переважно використовуються моменти не вище четвертого порядку.

Для того, щоб мати уяву про форму щільності розподілу чи многокутник розподілу випадкової величини , розраховують ще дві числові характеристики – коефіцієнт асиметрії та ексцес цієї величини за формулами

(30)

і . (31)

Обидві ці характеристики є безрозмірними величинами, тобто не залежать від масштабу вимірювання модельованих випадкових параметрів. Коефіцієнт асиметрії вказує величину несиметричності щодо математичного сподівання многокутника розподілу для дискретної випадкової величини чи щільності розподілу неперервної випадкової величини. Якщо щільність розподілу випадкової величини є симетричним щодо математичного сподівання, то Якщо , то закон розподілу є несиметричним щодо математичного сподівання і “довга частина ” щільності розподілу (многокутника розподілу) розміщена правіше від центра групування при і лівіше при

Ексцес характеризує більшу чи меншу згладженість щільності чи многокутника розподілу порівняно із щільністю нормального закону розподілу. Для нормального закону розподілу Якщо розподіл ймовірностей випадкової величини є одно модальним і щільність розподілу має гострішу вершину, ніж щільність нормального розподілу з тією ж дисперсією, то Коли ж має менш гостру і більше згладжену вершину, порівняно з щільність відповідного нормального розподілу, то

Дата добавления: 2015-11-14