Теоретичні положення

До сих пір в основному ми розглядали випадки коли проводилося одне чи декілька випробувань. Однак, на практиці часто проводиться не одне, а серія випробувань. Одним з найпростіших є той випадок, коли всі ці випробування незалежні між собою і в кожному з цих випробувань може відбутися подія А з однаковою ймовірністю р.

Наприклад, ми підкидаємо одну і ту ж монету сто раз. Зрозуміло, що при кожному підкиданні цієї монети на верхній її поверхні після того, як вона впаде може випасти або цифра, або герб. Ймовірність випадання цифри дорівнює 0,5. Однак реально при таких ста підкиданнях цієї монети на верхній її поверхні цифра може не випасти ні одного разу, випасти один, два і т.д. аж до сто разів. Виникає питання – яка ймовірність того, що на верхній поверхні цієї монети цифра випаде якусь задану кількість разів? Знайти цю ймовірність можна за допомогою формул Бернуллі чи їх модифікацій.

Нехай виконують скінченну кількість п послідовних випробувань. Якщо наслідки цих випробувань незалежні, то ці випробування називаються незалежними. Припустимо, що у кожному з п незалежних випробувань подія А може відбутися з однаковою ймовірністю р і не відбутися з ймовірністю . Тоді можна знайти ймовірність того, що в цих випробуваннях подія А може з’явитися рівно разів.

Ймовірність того, що в серії з послідовних незалежних випробувань подія може з’явитися разів, за умови, що в кожному випробуванні подія з’являється з ймовірністю і не з’являється з ймовірністю , обчислюється за формулою

. (1)

Розглянута схема і формула (1) названі ім’ям Я. Бернуллі.

Формулу Бернуллі (1) можна довести таким чином. Ймовірність однієї складеної події, яка полягає у тому, що в випробуваннях подія настане раз і не настане раз, за теоремою про добуток ймовірностей незалежних подій, дорівнює .

У зв’язку з цим, що ці складені події несумісні, за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність дорівнює сумі ймовірностей всіх можливих складених подій. Оскільки ймовірність всіх складених подій однакова, то шукана ймовірність (настання раз події в випробуваннях) дорівнює ймовірності однієї складеної події , помноженій на їхню кількість. А ця кількість дорівнює кількості комбінацій із елементів по елементів, тобто . Таким чином, ми вивели формулу

,

що і треба було довести.

На підставі формули Бернуллі (1) можна отримати і такі формули, які часто використовуються на практиці.

Ймовірність того, що в п незалежних випробувань подія А може відбутися не менше, ніж і не більше, ніж разів, можна обчислити за формулою

(2)

Формулу (2) можна використати, зокрема, для випадку, коли нам потрібно знайти Ймовірність того, що в п незалежних випробувань подія А може відбутися менше разів (), не більше разів (), більше разів () і не менше разів().

Ймовірність того, що в п незалежних випробувань подія А відбудеться хоча б один раз, обчислюють за формулою

(3)

З логічних міркувань зрозуміло, що при підкиданні монети сто раз найбільша ймовірність появитися цифрі на верхній поверхні цієї монети досягається для числа 50. У багатьох випадках треба знайти найбільш ймовірне значення числа появ події .

Число для якого ймовірність є найбільшою називають найімовірнішим числом настання подій (найбільшою частотою, модою).

Найімовірніше число настання події в схемі Бернуллі є в інтервалі

(4)

Для того, щоб можна було застосувати схему Бернуллі до розв’язування задач, потрібно, щоб виконувались такі умови: 1) випробування, які виконують повинні бути незалежними; 2) кожне випробування повинно мати два результати; 3) ймовірність появи заданої події повинна бути однаковою у кожному випробуванні.

Обчислення ймовірностей за формулами (1), (2) при досить великих та при малих або ускладнюється. Вони стають громіздкими та можуть мати значні похибки за рахунок заокруглень у деяких множниках. У таких випадках замість формули Бернуллі часто можна використовувати наближені асимптотичні формули.

Вкажемо наслідки із граничних теорем, які містять наближені формули для ймовірностей

,

Наслідок 1(з локальної теореми Мавра-Лапласа). Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань достатньо велика, а ймовірність появи події в усіх випробуваннях однакова, то ймовірність появи події разів може бути знайдена за локальною формулою Мавра-Лапласа

(5)

де

(6)

Функцію часом називають локальною функцією Лапласа. Вона має такі властивості:

1) функція визначена для усіх ;

2) функція є парною, тобто ;

3) при функція спадає до нуля;

4) .

Функція табульована для Для значення функції практично рівне нулю.

Наслідок 2(з інтегральної теореми Мавра-Лапласа). Якщо у схемі Бернуллі в кожному із незалежних випробувань подія може з’явитися з постійною ймовірністю, то ймовірність появи події не менш та не більш разів може бути знайдена за інтегральною формулою Мавра-Лапласа

, (7)

де

(8)

(9)

Функцію часом називають інтегральною функцією Лапласа. Вона має такі властивості:

1) функція є непарною, тобто ;

2) функція зростає для всіх ;

3)

Функція табульована для Для значення функції практично рівне 0,5.

Наслідок 3. Ймовірність того, що відносна частота появи події в незалежних випробуваннях відхилиться від ймовірності появи цієї події в одному випробуванні не більше, ніж на можна наближено визначити за формулою

(10)

Наближені локальну та інтегральну формули Мавра-Лапласа переважно застосовують у випадку, коли не дуже мале, при Якщо ж дуже мале, а велике, то використовують наближену формулу Пуассона, яка дає краще наближення шуканої ймовірності:

(11)

(12)

де

Дата добавления: 2015-11-14