Тема 2.3. Линейные преобразования и квадратичные формы

I. Задания для самостоятельной работы

1. Изучить теоретический материал по вопросам:

1.1. Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц.

1.2. Квадратичные формы, их матрицы в заданном базисе.

1.3. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.

1.4. Критерий Сильвестра

2. Выполнить задания:

2.1. Линейное преобразование вещественного 2-мерного линейного пространства задано своей матрицей. Вычислить собственные значения и найти собственные векторы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9)

2.2. Линейное преобразование вещественного 3-мерного линейного пространства задано своей матрицей. Вычислить собственные значения и найти собственные векторы: 1) ; 2) ; 3) ;

2.3. Записать квадратичную форму, имеющую данную матрицу: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

2.4. Выяснить, какие квадратичные формы являются положительно определенными, отрицательно определенными, и привести их к каноническому виду: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

II. Планы практических занятий

ТЕМА. Собственные значения и собственные векторы

квадратных матриц (2ч)

1. Нахождение собственных чисел матрицы

2. Нахождение собственных векторов матрицы

ТЕМА. Квадратичные формы (2ч)

1. Квадратичные формы: стандартный вид, матрица

2. Квадратичные формы: проверка положительной определенности и отрицательной определенности

3. Квадратичные формы: построение канонического базиса Якоби

III.Рекомендации по выполнению заданий и подготовке

к практическому занятию

1. Теоретический материал и примеры решения типовых задач по теме «Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц» можно найти в §7.1-7.4 Главы А учебника [1].

2. Теоретический материал и примеры решения типовых задач по теме «Квадратичные формы» можно найти в §8.1-8.4 Главы А учебника [1].

IV. Рекомендуемая литература

Основная литература

1. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / Под редакцией В.И.Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2008.

Дополнительная литература

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов.- М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999.

3. Сборник задач по курсу «Математика в экономике»: Учебное пособие. Часть 1. / С.В. Пчелинцев, В.А. Бабайцев, Солодовников А.С. и др./ под ред. В.А. Бабайцева и В.Б.Гисина. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА, 2010.

V. Контрольные вопросы для самопроверки

1. Может ли быть у квадратной матрицы порядка 2 три собственных значения?

2. Может ли быть у квадратной матрицы порядка 2 только одно собственное значение?

3. Каким будет результат умножения матрицы на собственный вектор?

4. Как построить матрицу квадратичной формы?

5. В каком случае квадратичная форма с диагональной матрицей будет отрицательно определенной?

Дата добавления: 2015-11-14