Множество и его элементы

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ

Множества и операции над ними

Множество и его элементы

Основатель теории множеств - немецкий математик Георг Кантор (1845-1918).

Понятие множества в математике является неопределяемым фундаментальным понятием, таким как точка или прямая. Его поясняют на примерах. Например, можно рассматривать множество натуральных чисел, множество школ в г. Донецке, множество студентов в данной аудитории и т.д.

Множеством в математике называют любую определенную совокупность различимых между собой объектов произвольной природы.

Объекты, из которых образовано множество, называются его элементами. Элементы множества различны и отличимы друг от друга.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,..., Z, а элементы множеств - строчными буквами: а, b, с,..., z.

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

N - множество натуральных чисел, включая ноль (0,1,2,...);

Р - множество простых чисел (2,3,5,...);

Z-множество целых чисел (0,±1, ±2, ±3,...);

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел;

С - множество комплексных чисел.

Если х является элементом множества А, то пишут х Î А и говорят, что «х принадлежит А» (или «А содержит х»). Таким образом, выражения «х есть элемент А», «х принадлежит А» и «А содержит х» являются синонимами и выражают то же самое, что запись х Î А.

Запись x ÏA означает, что «х не принадлежит А» (или «А не содержит х»).

Если x ₁ Î А, x ₂ Î А,..., x _n Î А, то для краткости пишут x ₁, x ₂,…, x _n Î А.

Элементы множеств сами могут являться множествами

Пример 1.1. Множество групп студентов. Элементы - группы студентов, которые, в свою очередь, состоят из студентов.

Множество, элементами которого являются множества, обычно называется классом или семейством.

В обычной речи множество связывают с большим числом объектов. В математике же рассматривается и множество, состоящее из единственного элемента, и множество, не содержащее ни одного элемента.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Æ.

Множества бывают конечные и бесконечные. Эти понятия примем без определения, пояснив их на примерах. Например, множество часов в сутках и множество дней в году являются конечными, а множество целых чисел и множество точек на плоскости являются бесконечными.

Обычно в каждом конкретном рассуждении элементы всех множеств берутся из некоторого фиксированного достаточно широкого множества, подразумеваемого в контексте рассуждения. Это множество называется универсальным (или универсумом) и обозначается U.

Дата добавления: 2015-11-14