Характеристическим свойством.

Этим способом пользуются, если множество бесконечно или конечно, но содержит большое число элементов, и, следовательно, перечислить его элементы нельзя. В этом случае указывают характеристическое свойство элементов множества. Характеристическое свойство -это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который множеству не принадлежит. Свойство Р(х) называют также предикатом.

Множество А всех объектов, обладающих некоторым характеристическим свойством Р,

обозначается так:

А={х | Р(х)}

и читается так:

«А - это множество всех х, обладающих свойством Р»

или

«А - это множество всех х, удовлетворяющих предикату Р».

Пример 1.2.

1. Конечное множество A={a₁, а₂,..., а_n} можно задать характеристическим свойством:

А={ х | x=a₁ или х=а₂ или... или х=а_n }.

Отсюда легко видеть, что

{а, а} ={а} и {a, b} = {b, а},

т.е. при задании множества порядок элементов роли не играет.

2. Множество четных чисел А = {0,±2, ±4,...} можно задать так:

А={х | x=2k, kÎZ}.

Заметим, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество ромбов можно задать как множество параллелограммов с равными сторонами и как множество параллелограммов, у которых диагонали взаимно перпендикулярны.

Пример 1.3. Множество целых чисел Z={1;2;3;...} можно задать так:

Z={n | n - целое положительное число}.

Пример 1.4. Множество нечетных однозначных чисел можно задать:

1) перечислением: А={1, 3, 5, 7, 9};

2) характеристическим свойством: А={х | xÎN и х<10 и остаток от деления х на 2 равен 1}.

Парадокс Рассела.

Задание множеств с помощью свойств может привести к противоречию. Рассмотрим знаменитый парадокс Рассела. Пусть А - множество всех тех множеств, которые не являются собственными элементами.

Другими словами, А={х | х - множество и хÏх}.

Вопрос: А Î А? Возможны 2 ответа:

a) пусть А Î А. Тогда из определения множества А следует, что А Ï А;

b) пусть АÏА. Тогда из определения множества А следует, что АÎА.

В обоих случаях получили логическое противоречие, известное как парадокс Рассела. Для множества А невозможно ответить на вопрос «АÎА?». Следовательно, множество А не существует.

Мы изучаем множества в рамках так называемой «наивной» теории множеств. Эта теория не позволяет рассматривать «множества всех множеств», поскольку это приводит к неустранимому противоречию. Поэтому мы будем рассматривать только те множества, которые можно явно перечислить или задать с помощью хорошо определенного характеристического свойства.

Дата добавления: 2015-11-14