Сравнение множеств.

Множество А называется подмножеством множества В (АÍВ), если все элементы А принадлежат В.

В этом случае говорят, что множество А содержится в В (или множество В включает множество А).

Для наглядности будем изображать множества геометрически в виде диаграмм Эйлера-Венна. Прямоугольник - универсальное множество, внутри него - некоторая замкнутая фигура, изображающая само множество. Диаграмма Эйлера-Венна, изображающая включение, выглядит гак:

Множества А и В называются равными (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Это значит, что все элементы А являются элементами В и наоборот, т.е. АÍВ и В Í А. Таким образом, чтобы доказать равенство множеств, требуется доказать эти два включения. В случае неравенства множеств А и В пишем А≠В.

Пример 1.5. Пусть А={2,3} и В= {корни уравнения х² - 5х +6 =0}. Равны ли эти множества?

1. Покажем, что АÍВ. Подставляя в уравнение х² - 5х +6 =0 числа 2 и 3, убеждаемся в том, что они являются корнями уравнения. Следовательно, АÍВ.

2. Покажем, что ВÍА. По теореме Виета, корни уравнения: x₁=2; x₂=3 и, значит, x₁,x₂ÎА.

Из 1 и 2 следует, что А = В. ♦

Пример 1.6.

Если АÍВ и А≠В, то А называется собственным подмножеством В. При этом говорят, что А строго включено в В и пишут АÌВ.

Пример 1.7. NÍZÍQÍRÍC, причем все включения строгие, т.е. NÌZÌQÌRÌC. Не следует путать знаки Î и Í:

0 Î {0}

{0} Î {{0}}

0 Ï {{0}}, так как множество {{0}} содержит единственный элемент {0}. Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном и обозначается 2^A

2^А = {В|ВÍА}.

Очевидно, что для любого множества А справедливы следующие три соотношения:

ÆÍA, АÍА, AÍU.

Пример 1.8. Булеан множества А ={1,2,3} равен

2^А={Æ, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Мощность множества А обозначается |А|. Для конечного множества мощность - это число элементов в нем. Если |А| = |В|, то множества А и В называются равномощными.

Пример 1.9.

|Æ| = 0, |{Æ}| = 1, |{0,1,2,3}| = 4, |{5,6,7,8}| =4,

т.е. последние два множества равномощны.

Дата добавления: 2015-11-14