Операции над множествами.

Пусть А и В - множества над универсумом U. Рассмотрим способы построения новых множеств по имеющимся А и В.

1. Объединением А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В, и обозначается:

А ÈВ={х | хÎА или хÎВ }.

Объединение множеств также называется их суммой и обозначается А+В.

2. Пересечением А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам А и В, и обозначается:

АÇВ={х | хÎА и хÎВ }.

Пересечение множеств также называется их произведением и обозначается А×В.

3. Разностью А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В:

А\В={х | хÎА и хÏВ }.

Разность множеств А и В также называется дополнением В до А.

4. Симметрической разностью А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств А и В:

AÅB=(A\B) È (В\А).

5. Дополнением А в универсуме U называется множество элементов U, не входящих в А:

Ā = U \ А, или, другими словами, = {х | х Ï А}.

Операции над множествами наглядно изображаются с помощью диаграмм Эйлера-Венна:

Пример 1.10.

Пусть А={2,3,4,5}, В={4,5,6,7}, U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Тогда

А ÈВ = {2,3,4,5,6,7}, АÇВ = {4,5},

А\В = {2,3}, АÅВ= {2,3,6,7}, = {0,1,6,7,8,9}.

Множества А и В называются непересекающимися, если они не имеют общих элементов, т.е. если АÇВ = Æ. Если АÇВ≠Æ, то А и В называются пересекающимися.

Пример 1.11. Доказать, что А\В = АÇ .

Для этого надо показать два включения: А\ВÍАÇ и АÇ Í А\В.

1. Покажем, что А\В Í АÇ . Пусть х Î А\В. По определению разности множеств хÎА и хÏВ, т.е. хÎА и хÎ . Тогда по определению пересечения множеств хÎАÇ . Таким образом, А\В Í АÇ .

2. Покажем, что АÇ ÍА\В. Пусть хÎ АÇВ. Тогда по определению пересечения множеств хÎА и хÎ , т.е. хÎА и хÏВ. Отсюда по определению разности множеств х Î А\В. Таким образом, АÇ ÍA\B.

Из этих двух включений следует, что А\В=АÇ . ♦

Дата добавления: 2015-11-14