Равновесные и неравновесные процессы

В сплошной среде могут происходить химические реакции между компонентами и фазовые переходы. Эти процессы происходят во времени, которые могут быть не согласованы со скоростью изменения параметров среды (температура, давление).

В таком случае говорят о неравновесном состоянии (процессе). Если физико-химические свойства среды и ее состав соответствуют температуре и давлению на данный момент – имеем равновесное состояние.

Физико-математическая модель сплошной среды.

Т. О., при исследовании гидродинамических процессов реальной среде ставиться в соответствие некая физико-математическая модель. Точность расчетов в этом случае зависит от того, насколько в принятой схематизации сохранились определяющие свойства реальной среды. Необходимость схематизации и упрощения математической модели вызвано прежде всего тем, что решений уравнений реально среды хотя бы в квадратурах не найдены, и даже численные методы позволяют получить решение далеко не всегда. Однако если математическая модель адекватно описывает процессы в данной среде, то возможна постановка численного эксперимента, заменяющего натурный эксперимент и позволяющий определить необходимые параметры течения среды в заданных краевых условиях.

Натурный эксперимент призван дополнить численный эксперимент в случае не адекватной модели.

При составлении физико математической модели жидкой среды необходимо знать, как меняются в зависимости от давления и температуры основные термодинамические и термофизические коэффициенты, такие как теплоемкость. Коэффициенты вязкости, теплопроводность, газовая постоянная ит.д.

Уровень знаний сегодняшнего дня не позволяет обойтись без натурного эксперимента.

ЛЕКЦИЯ 2

1.1 Теорема Геймгольца о движении жидкой частицы.

Движение жидкой частицы (выделенного жидкого обьема) состоит из поступательного ее центра масс, вращательного вокруг ее оси, проходящей через этот центр и деформационного (под действием внешних сил, приложенных к обьему- свойство текучести).

Отсюда следует что движении жидкости можно определить зная скорости во всех ее точках, т.е если известно поле скорости в рассматриваемой области в каждый момент времени.

1.2 Методы изучения движения жидкости- Лагранжа и Эйлера.

Метод Лагранжа: заключается в изучении вдижения каждой частицы в выделенной области.

Метод Эйлера: заключается в определении параметров жидкости протекающей через каждую фиксированную точку выделенной области в течении времени.

В методе Лагранжа каждая ч-ца должна быть помечена – определен ее радиус-вектор (метод меченых частиц) в начальный момент времени

(a,b,c- переменные Лагранжа)

Движение считается известным если известен вектор

Где x=x(a,b,c,t)

y=y(a,b,c,t)

z=z(a,b,c,t)

Геометрическая характеристика траектории- изменение вектора в зависимости от параметров ,a,b,c и независимой переменной t.

Векторная скорость- производная траектории по времени:

где - константа для каждой частицы

Или где (или )

Тогда траектория определится как

(или ) где время- независимая переменная.

Метод Эйлера: заключается в определении параметров жидкости, протекющей через каждую фиксированную точку пространства в выделенной области с течением времени.

Для скорости имеем функцию от координат и времени то вектор образует поле скоростей где проекции скорости

Поле скоростей представляет собой непрерывные линии, проходящие через фиксированные точки пространства- координаты выделенной области течения

Переход от эйлерова представления к лагранжевому:

где С=С(a,b,c)

Линии тока

Геометрическое предствление поля в методах Эйлера- линии тока, определенные как линии, в каждой точке которой вектор скорости совпадает с касательной к этой линии. Векторные линии образуют поле.

Если параметры течения явно не зависят от времени, такое течение наз. Стационарным(установившимся), если зависит от времени нестационарным (неустановившимся).

Для стационарных течений линии тока не меняют своего положения относительно системы координат, для нестационарных течений линии тока не совпадают не с траекториями, не между собой.

Уравнение линии тока

На линии тока выделим в произвольной точке элемент и скорость

По определению линии тока, они лежат одной????? касательной, следовательно ,откуда

, =>

Следовательно

- уравнение линии тока, где время- параметр, имеющий заданное значение.

Если линии тока проходят через замкнутый контур S и образуют замкнутую поверхность F, то они тем самым образуют трубку тока. Жидкость, двигающаяся внутри трубки тока называется струйкой тока.

Поле ускорений в методе Эйлера

В методе Эйлера каждая функция зависит от времени (параметр) и координат x_i:

F=F(t,x_i) где i=1,2,3 (или х₁=х; x₂=y; x₃=z)

Тогда полный дифференциал:

или

Введем оператор Гамильтона

тогда оператор полного дифференциала

Поле ускорений в таком случае будет иметь вид

Здесь - полное ускорение (субстанциональное)

- локальное ускорение

- конвективное ускорение (переносное)

Поле ускорений в методе Лагранжа

-частная производная от вектора скорости по времени

Где начальная координата от времени не зависит.

Вихревое движение жидкости

Скорость жидкой частицы можно представить в соответствии с 1^й теоремой Геймгольца

Вращение жидкого элемента характеризуется угловой скоростью его вращения

Где - угловая скорость вращения частицы.

Рассмотрим деформацию жидкого угла

РИСУНОК КУБИКА

1)вокруг оси z

- сумма углов α и β

Аналогично для осей X и Y

Аналогично линии тока введем понятие вихревой линии, как линии, к которой касателен вектор угловой скорости, тогда

Или -уравнение вихревой линии.

Вихревая трубка

Если вихревые линии проходят через замкнутый контур, то они образуют вихревую трубку, внутри которой жидкость вращается как твердое тело.

Вихревые трубки (шкуры) своими концами уходят в бесконечность или упираются в границы жидкости, или замыкаются на себя (вихревые кольца- соленоидальные течения).

Докажем это.

Пусть F₁ и F₂ настолько малы, что через эти поверхности постоянны по сечению.

По формуле Остроградского-Гаусса

но

но т.к. - не зависит от y и z, тогда

но ;

откуда , т.к.

Лекция № 3

Аналогично линии тока введем понятие вихревой линии

= 0

=>

Если вихревые линии проходят через замкнутый контур (рис.3.1), то они образуют вихревую трубку, внутри которой жидкость вращается как твердое тело.

F2

Fб

F1

Рис.3.1

Вихревые линии своими концами замыкаются либо на самих себя (вихревое кольцо) либо на поверхность, либо на бесконечность (Лойцянский, рис.9).

Вторая теорема Гельмгольца: суммарное напряжение вихревой трубки вдоль нее постоянно, или:

поток вектора вихря скорости через произвольно проведенное сечение вихревой трубки в данный момент времени есть величина постоянная.

(Под потоком понимают скалярное произведение вектора сквозь поверхность F (рис.3.3) ,

где -направляющие косинусы нормали к поверхности F.

Для струйки тока потоком через струйку тока является расход жидкости Для вихревой трубки напряжение или поток вихря )

рис.3.3

F

По теореме Остроградского-Гаусса о связи поверхностного интеграла с объемным

Но => и т.д.

Отсюда поток вектора (или напряжение вихревой трубки) (рис.3.1)

(1)

Положим, что площадки F1 и F2 достаточно малы, чтобы полагать на них .

Тогда с учетом будем иметь . Это будет математической формулировкой второй теоремы Гельмгольца.

Дата добавления: 2015-11-14