Связь между напряжениями и деформациями 1 страница

Механические свойства сплошных сред и их классификация определяются видом связи между тензором напряжений и физическими и кинематическими характеристиками среды. В твердом теле напряжения вызваны деформациями – градиентами координат выделенного объема, в жидкостях – градиентами скоростей. Для твердого тела получен закон Гука (теория упругости), для жидкости – обобщенный закон Ньютона (уравнение Навье – Стокса), и т.д.

Сформулируем (без вывода) основы закона Ньютона для напряженного состояния жидкости:

1. Компоненты тензора напряжений полностью определяются компонентами тензора деформаций градиентов скоростей.
2. Составляющие тензора напряжений при отсутствии вязкости приводят к тензору напряжений идеальной жидкости.
3. Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора скоростей деформаций линейно.
4. Коэффициенты пропорциональности между составляющими этих тензоров не зависят от системы координат (газ изотропен)

Нормальные составляющие тензора напряжений:

(**)

где Р – нормальное напряжение в жидкости при отсутствии вязкости или в покоящейся жидкости (жидкость Паскаля), второй и третий слагаемые в системе (**) – нормальные напряжения вызванные вязкостью.

Касательные напряжения зависят только от вязкости:

Второй коэффициент вязкости существует только для несжимаемой жидкости (что следует непосредственно из (**)).

Определим давление Р как среднее арифметическое из трех нормальных напряжений, приложенных с обратным знаком к трем взаимно перпендикулярным плоскостям:

Для сжимаемой жидкости , тогда (гипотеза, не доказана для многоатомных газов). Окончательно получим для нормальных напряжений (для Ньютоновских жидкостей)

(***)

Введем полученные зависимости в уравнение движения в напряжениях для оси х:

……………………………………………………………………………………………

Лекция №6.

Уравнение количества движения сплошной среды (уравнение сохранения импульса).

Производная по времени количества движения объема V сплошной среды равна сумме всех действующих на него массовых и поверхностных сил.

(1)

где -напряженность массовых и поверхностных сил.

Для перехода от интегральной к дифференциальной форме преобразуем поверхностный интеграл в обьемный.(В такой форме уравнение движения называется уравнением движения в напряжениях.)

По теореме Остроградского-Гаусса

где поверхностная сила, отнесенная к единице объема. Совокупность векторов образующая тензор гидродинамического давления в точке, причем (рис.1):

И поверхностные силы действующие на единицу объема:

Нормальные и касательные напряжения являются составляющими тензора напряжений.

Уравнение (1) можно записать как уравнение в интегралах по объему (2)

Уравнение (2) справедливо при наличии поверхностей разрыва в объеме . Для перехода к дифференциальной форме будем полагать непрерывность подинтегральных функций хотя бы на уровне первой производной, тогда можно записать:

или в проекциях на оси

Нормальные составляющие тензора напряжений, выраженные через градиенты скоростей выделенного объема запишем так

Первое слагаемое- нормальное напряжение в покоящейся или невязкой жидкости(жидкости Паскаля), два других- при наличии движения и вязкости.

Коэффициент???????? вязкости существует только в сжимаемой жидкости.

Определим давление в точке как:

; откуда

для несжимаемой жидкости , тогда (еще недоказанная гипотеза)

Тогда

Введем полученные выражения в уравнения движения в напряжениях:

Для всех направлений:

6.2

6.3

Это уравнение для единичного объема движущейся жидкости получено Навье в 1822г., Пуассоном в 1829г. и Стоксом в 1845г. и носит название уравнения Навье-Стокса, причем Навье получил его на основе молекулярно-кинетической теории, а Стокс- исходя из модели сплошной среды.

Для несжимаемой жидкости , тогда

(6.4)

для идеальной жидкости

- уравнение Эйлера (6.5)

Для покоящейся жидкости :

- уравнение гидростатики (6.6)

Критериальная форма записи уравнений движения.

В уравнении движения в форме 6.2 6.3 все члены имеют размерность ускорения. Приведем уравнение движения к безразмерному виду, отнеся его к характерному конвективному ускорению. Под характерным будем понимать характер, определяющий границы или особенности процесса. Например, в качестве геометрического линейного размера при обтекании аэродинамического профиля- это его хорда, для трубы- диаметр, для скорости- скорость потока на бесконечности и т. д. Выберем в качестве масштаба, не привязывая их к конкретной схеме течения, для скорости- , для линейного размера- , плотности - , тогда характерное время .Конвективное ускорение в выбранных масштабах:

Рассмотрим каждое слагаемое (6.2). Представим локальное ускорение

Где и числа подобии Струхаля и гомохронности соответственно. Здесь помимо характерного масштаба времени , характеризующего процесс течения в целом введено характерное локальное время , характеризующее локальный нестационарный процесс. Например, - время обтекания цилиндра с характерным линейным размером и скоростью , - период схода вихревых шнуров за цилиндром в вихревой дорожке Кармана.

Число Струхаля Sh - отношение локальных сил инерции к конвективным, характеристика нестационарного процесса (как и число H₀).

Второе слагаемое- конвективное ускорение- по определению должно иметь число подобия, равное единице.

На самом деле:

, где ; ит.д.

; ит.д.

Третье слагаемое:

. При получим число подобия Фруда , отношение силы тяжести к силе инерции или ускорение свободного падения к силе инерции массы выделенного объема.

Четвертое слагаемое:

Число подобия Эйлера т.к. то определяют границу проявления сжимаемости. Если под P₀ понимать потери полного давления, то число подобия Эйлера характеризует коэффициент потерь .

Пятое и шестое слагаемое:

Re- соотношение сил инерции к силам вязкости

Таким образом, уравнение движения в критериальной форме имеет вид:

Лекция №7

В критериальной форме уравнение движения состоит из произведения размерного (числа подобия) и безразмерного сомножителей. Если порядок величины каждого безразмерного сомножителя принять за единицу, то размерный сомножитель – число подобия – определяет порядок каждого из них по сравнению с одним из них, принятым за единицу. В нашем случае за единицу принято конвективное ускорение. Например, число Струхаля Sh показывает во сколько раз локальная составляющая больше конвективной, число Рейнольдса Re – во сколько раз силы конвективной составляющей больше вязкостных сил (во сколько раз сила инерции больше силы трения), и т.д. В уравнении движения величина числа подобия определяет вклад каждого слагаемого в общий процесс.

Числа Sh, Eu и Fr являются сомножителями при младшей (первой) производной. Порядок чисел Sh и Eu для жидкостей и газов: Sh=0,01…0,2; Eu=1…10, Re=10^3…10^9.

Соответственно суммарное влияние вязкостного члена на величину ускорения будет зависеть от безразмерного соотношения, имеющего второй порядок производной. Таким образом, в уравнении движения число 1/Re характеризует малый параметр при старшей производной и, если старшая производная не велика, влиянием вязкости можно пренебречь. При обтекании потоком поверхности в области стенки существуют зоны небольшой протяженности, где скорость резко меняется от скорости натекания до нуля (при неподвижной стенке). Соответственно, в этой зоне старшая производная велика и вклад в общее движение (ускорение) вязкостного слагаемого является определяющим. Эта область получила название «пограничного слоя». Вне пограничного слоя поток можно считать невязким с большой точностью. Обычно зону за пограничным слоем называют ядром потока.

ядро потока

пограничный слой

Безразмерная форма записи уравнения движения в критериальной форме позволяет определить условия подобия течения жидкости. Два течения считаются подобными, если:

1. описываются одинаковыми безразмерными уравнениями. Равенство безразмерных слагаемых в уравнении движения означает равенство полей скоростей (кинематическое подобие)
2. имеют подобные геометрические характеристики областей, в которых происходит течение (геометрическое подобие)
3. имеют равенство чисел подобия (динамическое подобие)
4. имеют подобные начальные и граничные условия

Если соблюдены все перечисленные условия, то говорят о полном подобии течений, что на практике встречается редко. Если соблюдены не все условия подобия, то говорят о частичном подобии.

Во многих случаях (при определенных значениях чисел подобия) процесс течения перестает зависеть от числа подобия. В таком случае говорят об автомодельности по числу подобия. Например, данные эксперимента показывают, что при число Струхаля Sh, характеризующее частоту колебаний упругой нити при поперечном обтекании, не зависит от Re; соответственно эта область

Re Re

a) 100 б)

в)

будет областью автомодельности (ОА) для обтекания нити, аналогично – для коэффициента трения в трубе или на плоской пластине: при Re >Rekp начинается область автомодельности и тем раньше, чем больше относительная шероховатость , где d – диаметр трубы.

Если число подобия является определяющим процесс (с независимой переменной), то оно называется критерием подобия. На рис. а) число подобия Re является критерием подобия, а число Sh остается числом подобия.

Уравнения пограничного слоя.

Как было сказано выше, уравнение движения в критериальной (безразмерной) форме позволяет оценить вклад каждого слагаемого в величину суммарного ускорения по численному значению чисел подобия. Само численное значение чисел подобия зависит от характерных масштабов трения – длины, скорости, локального времени. Записывая безразмерные уравнения в проекциях на оси координат и выбирая масштабы, характерные для каждой оси (каждого направления), можно сравнивать значения чисел подобия по разным координатам и если вклад отдельных слагаемых невелик, то пренебречь ими и упростить исходные уравнения. Эти соображения легли в основу вывода уравнений пограничного слоя Прандтля.

При экспериментальных исследованиях вокруг удобообтекаемых тел (без отрывов потока от твердой поверхности), было замечено, что около стенки образуется тонкий слой, толщина которого на несколько порядков меньше хорды профиля или длины пластины, который был назван пограничным. Внутри этого слоя скорости резко меняются от скорости стенки до скорости внешнего потока (ядра), а силы вязкости имеют один порядок с силами инерции. Вне этого слоя производные скорости невелики, соответственно малы касательные напряжения и поток можно считать инерционным, а точнее – идеальным. Толщина пограничного слоя была в дальнейшем определена как высота от поверхности, скорость на которой равна 99,9 % от скорости ядра потока.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Сокращая на dx и деля на , получим:

- Интегральное соотношение Кармана.

Модификация этого уравнения заключается во введении условных толщин и -

на внешней границе , откуда (), далее представим: , тогда получим:

или:

, вводя параметр , как отношение параметра толщины, получим или - интегральное соотношение Кармана через толщину импульса и формпараметр, где

- формпараметр, содержащий градиент скорости, - коэффициент трения на стенке. Вместо характерной толщины вводят также число по толщине потери импульса, тогда интегральное соотношение примет вид , где , - характерный линейный размер.

Лекция № 8

Турбулентность.

Течение вязких сред бывает двух видов: ламинарным (слоистое), когда обмен количеством движения между отдельными слоями происходит на молекулярном уровне, что характеризуется молекулярной вязкостью, и турбулентным, когда обмен количеством движения происходит на молекулярном уровне – ансамблями (группами, молями) частиц. В последнем случае касательные напряжения в жидкости определяются не молекулярной вязкостью, зависящей от свойств жидкости, а турбулентной вязкостью, зависящей от параметров течения в каждой точке. Разделяют два течения по определенному значению критерия Рейнольдса:

Рис.8.1

В обоих видах жидкость находится в устойчивых состояниях. Между этими состояниями находится переходная зона, где поток переходит от ламинарного состояния в турбулентное, определяемое коэффициентом перемещаемости – в данном случае долей времени, в котором поток находится в турбулентном состоянии.

Характеристики турбулентности.

Турбулентное течение всегда неустановившееся. Для оценки его разделяют на осредненную и пульсационную составляющие. Если осредненная составляющая не меняется во времени, то поток называется квазистационарным, меняется – нестационарным. В общем случае мгновенная скорость потока : , причем Осредненная скорость за период времени : .

Масштаб времени выбирается таким, чтобы ; и тогда , здесь - пульсационная, - осредненная, - действительная мгновенная скорость в точке.

Рис. 8.2

Если , то течение стационарное.

Основные характеристики турбулентности.

1. Степень турбулентности [%] – отношение среднеквадратичной пульсационной составляющей скорости к средней скорости в точке.

2. Коэффициент корреляции – отношение среднего произведения пульсаций к произведению среднеквадратичных пульсаций – характеризует связь между пульсациями в разных точках. .

3. - масштаб турбулентности – расстояние, на котором прослеживается влияние параметров потока в разных точках друг на друга.

Ранее выведенное уравнения Навье – Стокса получены для мгновенных скоростей. В случае турбулентного движения целесообразно ввести определенные параметры. Представим проекции скорости и давление как сумму локальных и осредненных величин

и проведем осреднение по времени, получим уравнение Навье – Стокса в форме Рейнольдса.

Рассмотрим свойства осреднения:

1)

2)

3) 4) 5) 6)

Рассмотрим несжимаемую жидкость. Заменим в уравнении Навье – Стокса все параметры на среднюю и пульсационную составляющие и усредним по времени. Для оси Х:

1.1 1.2 1.3 1.4

1.5 1.6 1.7 1.8

1.1

1.2

1.3 ………………………………………………………….

1.4 ….

1.5 1.6…1.8

Отсюда получим:

представим ;

и

с учетом , получим:

;

соответственно, для осей y и z:

Таким образом, в осредненных уравнениях появляются дополнительные слагаемые типа

, которые называются рейнольдсовыми напряжениями. Тензор напряжений:

Суммарные напряжения для них и для несжимаемой жидкости:

Дата добавления: 2015-11-14