Связь между напряжениями и деформациями 3 страница

Для баротропной жидкости (сжимаемая жидкость, изотропное (без потерь) движение):

Уравнение Бернулли для газа при установившемся течении:

где к – показатель адиабаты

Для адиабатического течения:

Ср – Сv = R; Cp/Cv = k

i = Cp T - энтальпия

откуда , но ,

тогда получим разные формы записи уравнения Бернулли для газа (баротропной жидкости)

(полная (по заторможенным параметрам) энтальпия вдоль струйки тока при адиабатическом движении величина постоянная)

Первое слагаемое определяет кинетическую энергию массы газа, а второе – его теплосодержание.

Скорость звука в газе , для изоэнтропического течения , тогда

- местная скорость звука, тогда определяемая по статической температуре газа

Запишем уравнение Бернулли через температуру:

(*)

Здесь T – статическая температура, т.е. та температура, которую меряет термометр, двигающийся вместе с газом вдоль струйки тока (или в системе координат, движущейся вместе с частицей газа).

- приращение температуры, которое могло бы быть, если бы кинетическая энергия единицы массы газа перешла в тепло (частица затормозилась), причем процесс торможения происходил бы без потерь и теплообмен (изоэнтропа), S = const,

эту температуру меряет термометр, неподвижный

относительно наблюдателя, или в системе координат,

относительно которой движется газ. В таком случае

из (*) называется температурой торможения или

полной температурой.

рис. 10.2

Иными словами, статическая температура характеризует кинетическую энергию хаотического движения молекул газа, ударяющихся о термометр или просто ограничивающую стенку, а полная температура – приращение энергии за счет кинетической энергии массы газа, движущейся с вектором скорости . Соответственно, можно определять температуру торможения по любой составляющей вектора , тогда эта температура называется температурой частичного торможения.

Аналогично можно ввести параметры статического давления «Р» и полного давления , а также плотности и , причем , т.е. плотность подчиняется уравнению состояния.

Аналогично скорости звука по статической температуре можно ввести скорость звука по полной температуре:

При изменении параметров вдоль струйки тока уменьшению кинетической энергии соответствует увеличение теплосодержания, т.е. при уменьшении V растет местная скорость звука. Может наступить такой момент, когда скорость потока V будет равна «а». Такая скорость и, соответственно, все параметры потока при этом условии называются критическими.

(***)

Наконец, при истечении газа в пустоту Р = 0, тогда

приравнивая все эти константы, получим:

откуда - характерная скорость через полную температуру

Из (***) также следует, что полная температура при адиабатическом течении вдоль струйки тока не меняется (если нет подвода-отвода энергии).

Газодинамические функции.

Параметры торможения являются выражаемыми параметрами, которые были бы полным изоэнтропическим торможением потока в данной точке. Поэтому статические параметры движущегося потока связаны с параметрами торможения зависимостями адиабаты Пуассона

Расчет этих параметров легко вести с помощью газодинамических функций, которые связывают термодинамические параметры с приведенной скоростью . В свою очередь число связано с числом Маха:

Разделив на правую часть, получим:

Лекция №11

Газодинамическая функция (ГДФ) температуры.

(*)

Из последнего равенства (*) можно также получить

ГДФ давления. Поскольку торможение происходит по адиабате Пуассона, то

Соответственно для ГДФ плотности получим

Критические параметры и газодинамическая функция расхода.

Для случая когда

Тогда газодинамические функции в этом случае:

Скорость звука:

Введем плотность тока тогда расход где F- площадь сечения.

В критическом сечении , тогда . Отношение называется газодинамической функцией расхода;

Расход через газодинамическую функцию расхода:

Обозначая получим окончательно:

Для воздуха при

Характер изменения ГДФ следующий:

При имеем

При имеем

При имеем принимают критические значения, а , поскольку плотность ток становится равной критической.

График изменения ГДФ.

Использование ГДФ тока в расчетах.

Рассмотрим два сечения канала 1-1 и 2-2. Течение будем полагать без отвода теплоты, но с потерями полного давления. На участке 1-2 потери полного давления восстановления, характеризуются коэффициентом восстановления полного давления:

Коэффициент загромождения характеризует уменьшение расхода через канал по сравнению с идеальным (невязким, нетеплопроводным) течением G

Через параметры погранслоя коэффициент загромождения можно выразить как:

где П-периметр, F- геометрическая площадь канала, нормальная к вектору скорости потока в сечении.

Коэффициент загромождения связан с коэффициентом восстановления полного давления, как .

Вместе с коэффициентом восстановления полного давления используется коэффициент потерь: , (где V- характерная (обычно максимальная) скорость в сечении канала) который связан с выражением:

где - диффузорный, а К- конфузорный канал.

Из приведенных выражений для и , следует, что в расчетах их нельзя задавать произвольно если задан один из них, остальные должны быть рассчитаны.

Запишем, далее, уравнение расхода для сечений 1-1 и 2-2.

или,

Здесь следует отметить, что при отсутствии теплообмена, но при наличии трения по всему сечению канала, в время как меняется в соответствии с изменением (или ).

Расход через суживающееся сопло.

Будем полагать течение без теплообмена и без потерь. На выходе статические параметры: ; полные . Степень понижения давления в сопле:

Расход отнесенный к площади:

Рассмотрим течение через сопло. При истечения не будет, . При уменьшении давления уменьшается, скорость истечения растет и при ; ; ; . Соответственно расход будет максимальным и равен: . Дальнейшее уменьшение давления на срезе не приводит к изменению расхода- сопло «запирается», и при , . Увеличение массового расхода может быть достигнуто только за счет увеличения и (или) уменьшения . Соответственно, пространственная диаграмма изменения плотности тока будет выглядеть так, поскольку .

Лекция №12

Принцип обращения воздействия (ПОВ).

Поток газа при своем движении может находиться под влиянием различных внешних воздействий, которые изменяют параметры потока – скорость, давление, температуру, плотность. Проще всего это рассмотреть на примере установивщегося одномерного движения реального газа при наличии подвода тепла, механической энергии, массовых сил и т.д. Рассмотрим движение газа через трубу или струйку тока (рис.12.1) при осредненных по поперечному сечению F.

Рис.12.1

Основные принципы ПОВ

Виды воздействий:

1. В общем случае при движении по трубе (струйке тока) поток может подвергаться следующим видам воздействий:

1.1 Геометрическому воздействию (изменению площади поперечного сечения F – сопло Лаваля)

1.2 Тепловому воздействию (подвод – отвод тепла)

1.3 Механическому воздействию – подвод-отвод механической энергии (насос, турбина, компрессор)

1.4 Воздействию трением (от сил вязкости)

1.5 Расходному воздействию – вдув-отсос жидкости или газа

1.6 Воздействие за счет работы массовых сил – например, массовых сил электропроводных жидкостей

1.7 Комбинированные воздействия

2. Все воздействия на поток, кроме трения и подвода тепла – обратимы, т.е. могут менять знак. Затраченная работа на преодоление сил трения и джоулево тепло необратимы, т.е. газ только аккумулирует энергию.

3. ПОВ состоит в том, что любым элементарным обратимым воздействием можно вызвать непрерывное ускорение потока – от дозвукового к сверхзвуковому и наоборот, если, при достижении скорости звука изменить направление воздействия на обратное.

4. Если при достижении скорости звука действует несколько типов воздействий, то при переходе через скорость звука должно изменить знак их суммарное воздейсвие (принцип суперпозиции или аддитивности).

Следовательно, можно рассматривать каждое воздействие отдельно, а потом сложить результат.

Ограничимся рассмотрением геометрического воздействия, воздействия трения, подвода тепла, массы, энергии. Основные закономерности исследуем на примере геометрического воздействия.

Запишем уравнения импульсов, энергии, расхода и состояния. Будем рассматривать только одномерное движение, но в правую часть добавим механическое воздействие:

или после умножения на dx:

где - работа массовых сил

- механическая работа

- работа сил трения

Выразим изменение скорости, давления, температуры и плотности через относительные приращения, т.е. через логарифмические производные:

т.к. , или

Уравнение энергии

Или

Выражая

Окончательно, получим систему уравнений:

- импульсов

- энергии

- расход

- состояния

Имея изменения относительных параметров потока d lnP, d lnV, d lnT и , от всех воздействий, можно оценить их влияние на прцесс течения. Воспользуемся свойством аддитивности и будем исследовать каждый тип воздействия отдельно.

Начнем с геометрического воздействия (сопло Лаваля)

Расход через сопло Gi=const. Тогда

- из уравнения расхода

- уравнение импульсов

тогда:

проводя аналогичные преобразования, для относительного изменения газодинамических параметров, получим:

геометрическое воздействие на поток

Для расходного воздействия при F=const, G=var в данной системе нужно заменить

рис.12.2

При М=1 , когда М=1 (V=a) dV/V, dT/T, dP/P, стремятся к бесконечности, и чтобы процесс двигался в прежнем направлении, необходимо поменять воздействие, и тогда произойдет переход от дозвукового течения к сверхзвуковому переходу через скорость звука в критическом сечении. В этом заключается принцип обращения воздействий.

рис.12.3 рис.12.4

В критическом сечении все параметры достигают критических

значений.

,

Примеры воздействий:

рис.12.5

Воздействие трением:

, =>

рис.12.6

Выделим в трубе постоянного сечения элемент жидкости длиной dx, периметром П и площадью поперечного сечения Fn. Условия равновесия движущегося элемента под влиянием перепада давлений на поперечное сечение Fn и касательных напряжений на стенках :

Отнесем силу к скоростному напору, тогда на единицу площади получим:

Введем гидравлический диаметр Дг = 4П/Fn,

Тогда

Обозначим , тогда получим

где -коэффициент сопротивления

- коэффициент трения, или линейный коэффициент сопротивления

Рис.12.7

Для уравнения воздействия трением имеем

Лекция №13

но т.к. то

и тогда

При

где - приведенная длина трубы. При происходит запирание трубы, а приведенная длина называется критической.

Режимы течения в трубе. Расход по входу:

Дозвук на входе:

течение нереально

При дозвуке возможны все режимы от до .

Сверхзвук на входе.

сверхзвук по всей длине трубы

-критическая скорость на выходе из трубы

-переход через скачок в середине трубы на кривую , так что в сечении скачка Соответственно, область разрешенных режимов находится в заштрихованной зоне рисунка.

Конус Маха. Характеристики.

Частица движется в потоке со скоростью V, большей скорости звука a. За t=1сек проходит путь , звук распространяется на расстояние . Огибающая звуковой сферической волны проходит под углом и называется характеристикой, и движется со скоростью V, выходя за пределы сферической волны.

При обращении движения характеристика остается на месте, поток движется со скоростью V. Возмущение от волны за характеристику не поступает.

При V<a частица находится внутри сферической волны. Возмущение от волны при обтекании препятствия передается против потока.

Плоская ударная волна и скачок уплотнения.

Поршень пришел в движение и от t=0 до t прошел расстояние со скоростью V.

Условия процесса:

1)Газ сжимается

2)Сжатие на участке от x=0 до ударной волны, за которой U=0 происходит через движение элементарных объемов dU=Fdx

3)Каждый элементарный объем передает соседнему, впереди находящемуся объему малое возмущение, передающееся со скоростью звука.

4)Газ в дозвуковой волне немного разогревается

5)Последующие объемы двигаются в среде подогретого газа, скорость звука в нем больше, и последние объемы догоняют первую звуковую волну.

6)Все звуковые волны догоняют первую, накладываются друг на друга и образуют скачок уплотнения, где повышения плотности, температуры и давления уже не элементарные.

7)За поршнем газ охлаждается, волны возмущения не могут догнать первую. Скачок разряжения не возможен.

Дата добавления: 2015-11-14