Связь между напряжениями и деформациями 2 страница

Лекция 8 (страницы7.5-7.11 )

Получим дифференциальные уравнения пограничного слоя ограничившись двумерным случаем и моделью несжимаемой жидкости в декартовой системе координат. Из рассмотрения физической картины течения выберем характерные масштабы для каждой оси

Для продольной координаты (х) за характерные скорость и длину примем скорость натекания и длину профиля , для поперечной координаты за характерную длину примем толщину пограничного слоя в области выхода . Для оценки поперечной характеристики скорости в?????? обратимся к уравнению неразрывности

откуда , но ; , или

В пограничном слое силы инерции и силы вязкости одного порядка, следовательно:

Уравнение давления в проекциях:

Примем в качестве безразмерных величин

; ; ; ;

;

Рассмотрим последовательно каждое слагаемое системы:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

Окончательно получим:

Эти правила являются точными, написанными в безразмерной форме для координатных осей.

Устремляя , получим приближенные уравнения для пограничного слоя в виде:

Вновь переходя к размерному виду будем иметь:

Уравнение пограничного слоя в диф. форме (ур-е Прандтля).

Некоторые выводы.

1) Градиент давления поперек погранслоя равен нулю поэтому давление в слое величина постоянная и равная давлению на внешней границе слоя т.е. в потенциальном потоке над погранслоем.

2) При безотрывном обтекании твердого тела потоком жидкости толщина погранслоя имеет порядок ; т.е. при (среднее значение в технических установках) , т.е 1% от длины пластины. При таких????? давление по контуру можно считать кА для???????ного обтекания пренебрегая толщиной погранслоя.

Уравнения пограничного слоя, как и уравнения Навье-Стокса описывают течение вязкой жидкости однако они значительно проще и могут быть проинтегрированы. При решении задачи обтекания поверхности область течения разбивается на ядро и пограничный слой, причем течение в ядре с большой точностью описывается уравнением невязкой жидкости, что в целом значительно упрощает задачу. Уравнения пограничного слоя можно использовать только для удобообтекаемых тел (без отрыва потока и сильных возвратных течений, где эти уравнения уже не справедливы.

Интегральные соотношения Кармана.

Интегральные соотношения Кармана можно получить двумя путями: интегриря дифференциальное уравнение Прандтля или рассматривая условия равновесия элемента жидкости в пограничном слое как это впервые сделал Теодор Карман.

Прежде чем переходить к интегральному соотношению введем некоторые понятия характеризующие параметры погранслоя- толщину вытеснения и толщину потери импульса.

Толщина вытеснения

Толщина вытснения характеризует уменьшение расхода, проходящего через погранслой по сравнению с расходом идеальной жидкости через этот слой.

В каждом сечении y по высоте слоя уменьшение скорости составит величину . Соответственно уменьшение расхода через слой толщиной и глубиной z=1 составит где

- толщина вытеснения.

Если заторможенную жидкость распределить по поверхности то получим . Если на ее высоту оттеснить линию тока то через будет двигаться поток со скоростью .

Толщина потери импульса.

Помимо уменьшения расхода через погранслой, связанного с уменьшением скорости за счет вязкости уменьшается также и количество движения потока.

Разница количеств движения идеального и реального потоков на слое толщиной dy элементарной массы

По всей высоте слоя

Где - толщина потери импульса.

На рисунке это толщина слоя на который нужно нарастить , чтобы импульс количества движения невязкого газа не уменьшился.

Соотношение импульсов Кармана.

Рассмотрим равновесие жидкого элемента двумерного пограничного слоя (рис.)

Элемент находится в равновесии; силы, действующие на элемент: давление , касательное напряжение на стенках.

Основные допущения:

Уравнения расхода.

Изменение количества движения через грани

Учитывая знаки единичных ортов площадок, получим

Сумма действующих сил

(с учетом слагаемых 2-го порядка малости)

С учетом знака

Сокращая на и деля на получим

Интегральное соотношение Кармана

Модификация этого уравнения заключается во введении условных толщин и

Лекция 9

Природа турбулентных соотношений.

Два условия:1) 2) аналогия с молекулярной вязкостью

Рассмотрим два слоя со скоростями и в движущейся жидкости в области погранслоя. Обозначим среднюю скорость , пульсационную с проекциями и . Через площадку dS из верхнего слоя в нижний движется масса газа количество движения нижнего слоя при этом изменится на величину и будет равно импульсу действующих сил

или где - касательная напряжения, которым верхний слой воздействует на нижний. Полагая ; , получим:

- формула Прандтля для турбулентных касательных напряжений, здесь l – длина пути перемешивания, на которой масса газа при движении из слоя в слой сохраняет свои свойства (объем, пульсацию скорости и т.д.) до смешения с соседним слоем.

Длина пути перемешивания аналогична по физическому смыслу длине свободного пробега молекул, только при турбулентном движении вместо отдельных молекул в обмене количеством движения между движущимся со средней скоростью слоями участвуют не отдельные молекулы, а группы (ансамбли,????) молекул в конечном контрольном объеме. Однако, в отличие от длины свободного пробега молекул, которая зависит преимущественно от физических параметров газа и не зависит от расстояний до стенок, длины пути перемешивания зависит от расстояния до стенки и перемены вдоль толщины погранслоя. В области стенки скорость жидкости (газа) близка к нулю, (в системе координат, связанных со стенкой), и обмен количеством движения всегда осуществляется отдельными молекулами, а поток, следовательно, всегда ламинарный. Опыты подтверждают это положение, данную область называют ламинарным подслоем .

При безградиентном течении . На стенке и полагая, что в ламинарном подслое длина пути перемешивания пропорциональна расстоянию от стенки будем иметь . Опыты показывают, что

На внешней границе слоя и за ней, где течение определяется ядром потока, оно (течение) является ламинарным, обычно принимаемым невязким. Здесь также длина пути перемешивания стремится к нулю. В таком случае распределение поперек слоя имеет максимум. В области этого максимума интенсивность турбулентности небольшая.

Распределение длины пути перемешивания поперек слоя по данным разных авторов:

По Кутателадзе-Леонтьеву:

По Сполдингу:

при

при

где ;

Из аппроксимации, в частности, Сполдинга следует, что длина пути перемешивания (а, следовательно, и масштаб вихреобразований (момент), участвующих в турбулентном обмене) имеет порядок толщины слоя, что также подтверждается численным и натурным экспериментом. В целом структура турбулентного пограничного слоя выглядит следующим образом: (рис)

,т.е. ламинарный подслой занимает не более 1% всего слоя, а область турбулентного слоя- до 20%. Зона от турбулентного слоя до потенциального ядра наз. Внешней частью слоя, изменение интенсивности в ней определяется коэффициентом перемещаемости , который меняется от нуля при (слой ламинарный) до единицы при (слой полностью турбулентный). Как и при течении в трубе в переходной области, - доля времени, когда слой турбулентный.

Распределение скоростей в турбулентном пограничном слое.

Ламинарный подслой.

В ламинарном подслое, как следует из уравнения Прандтля при имеем,

; т.е. т.е. градиент касательного напряжения по y в пределах до равен нулю, следовательно, тогда:

при

т.е. распределение скоростей поперек слоя- линейно.

Введем динамическую скорость (скорость трения)

, тогда , или ;

- арспределение относительных скоростей в ламинарном подслое.

Таким образом, в ламинарном подслое касательное напряжение постоянно и равно касательному напряжению на стенке, а распределение скоростей по y линейно.

Турбулентное течение.

Логарифмический профиль скоростей.

полагая, что вблизи стенки или

- распределение скоростей в турбулентном слое. (в круглой трубе С₁=5,5)

В точке перехода из ламинарного погранслоя в турбулентный:

В точке сопряжения

При кривые начинают расслаиваться, начинается внешняя область.

Из аппроксимации профиля скоростей Карман получил зависимости для погранслоя на пластине:

Степенной профиль скоростей.

Можно показать, что логарифмический профиль- это огибающая степенных профилей типа , или , где А и n зависят только от числа Рейнольдса на пластине , так что где

Тогда ; ; ; ; и т.д.

Расчет пограничного слоя с градиентом давления.

Метод Кутателадзе-Леонтьева.

Рассмотрим соотношение импульсов Кармана в критериальной форме:

Для решения этого уравнения необходимо знать в области перехода от ламинарного к турбулентному течению, связь C_f и Н от и и?????, причем эти связи в общем случае являются результатами расчета или определяются из опыта.

Рассмотрим метод Кутателадзе-Леонтьева, основанный на введении понятия «эталонного» пограничного слоя. Эталонным будем называть пограничный на теплоизолированной плоской пластине при безградиентном течении, отсутствии шероховатости, вдува(отсоса) и других возмущающих факторов.

Коэффициент трения на плоской пластине (эталонном погранслое) определяется как или , где А_f и В определены, как показано ранее. Далее на коэффициент трения вводятся поправки, учитывающие влияние неизотермичности, сжимаемости и других факторов. Поправки вводятся по методу Фурье, когда функцию от нескольких переменных представляют как произведение отдельных функций от каждой переменной:

В нашем случае:

где - функции, учитывающие влияние неизотермичности, сжимаемости, вдува(отсоса), градиента давления. Вид этих функций определен из обработки большого количества экспериментальных данных.

Особо следует отметить учет влияния градиента давления. Он связан с двумя формпараметрами: (или ) и

Формпараметр Н характеризует наполненность профиля скоростей. В области близкой к отрыву ; для плоской пластины и турбулентного погранслоя При и приближение пограничного слоя несправедливо. В таком случае поток ведет себя как свободная турбулентная струя,

При имеем б и функция влияния градиента.

- формпараметр эталонного погранслоя

Влияние различных факторов на переход пограничного слоя от ламинарного к турбулентному.

Л.П.С. - ламинарный погранслой

П.О. - переходная область

Т.П.С. - турбулентный погранслой

I,II,III- вязкий подслой, турбулентной области, внешняя область турбулентного погранслоя.

На плоской пластине переход от ламинарного режима течения к турбулентному происходит при . Градиент давления шероховатость поверхности влияют на переход, а также начальная турбулентность.

Встречный градиент давления (диффузорное течение) способствует раннему переходу, попутный градиент давления (конфузор) затягивает переход. Чем выше шероховатость поверхности, тем раньше переход, аналогично влияет и начальная турбулентность, однако, при имеем что достигает минимума и перестает зависеть от начальной турбулентности.

Лекция №10

Ранее были рассмотрены дифференциальные уравнения движения в частных производных для вязкого газа – уравнения Навье – Стокса, осредненные по времени при турбулентных течениях уравнения Рейнольдса, уравнения пограничного слоя в форме Прандтля и, наконец, уравнение Эйлера, которое получается из уравнений Навье – Стокса, полагая вязкость равной нулю. В отличие от уравнений Навье – Стокса и Рейнольдса уравнения Прандтля и Эйлера могут быть проинтегрированы, в первом случае мы получим уравнение Кармана, во втором – уравнение Бернулли вдоль струйки тока.

Рассмотрим уравнение Эйлера:

ограничимся двумерным случаем и умножим на приращение линии тока.

Рис. 10.1

Первое слагаемое

Третье слагаемое

Второе разложим по осям и домножим на приращение координат, получим

- по оси Х

- по оси У

складывая эти уравнения, получим:

Окончательно получим:

Интегрируя от точки 1 до точки 2 вдоль линии тока, получим:

или, для установившегося движения:

для несжимаемой жидкости:

Дата добавления: 2015-11-14