Метод векторных диаграмм

Для наглядного описания гармонических колебаний используется метод векторных диаграмм.

Гармонические колебания представляются в виде вектора. Модуль этого вектора равен амплитуде колебаний, а угол, образуемый вектором с осью Х, равен начальной фазе колебаний. Возможность такого представления следует из связи гармонических колебаний с вращением по окружности.

При вращении вектора его проекция на ось Х меняется по косинусоидальному закону:

A cos (ωt + φ).

Любое синусоидальное колебание можно рассматривать как косинусоидальное с определенной начальной фазой:

A sin (ωt + φ) = A cos (ωt + φ – π/2)

При наличии двух гармонических колебаний их разностью фаз Δφ = φ₂ – φ₁ на векторной диаграмме является угол между ними. В этом случае говорят, что одно колебание опережает или отстает от другого.

Сложение колебаний на векторной диаграмме производится по правилам сложения векторов, т.е. по правилу параллелограмма и треугольника.

Сумма гармонических колебаний также будет гармоническим колебанием.

АМПЛИТУДА, ПЕРИОД И ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ (уч.10кл. стр.69-70)

Периодическое движение и его виды(см.выше уч.10кл.)

Определения и единицы измерения амплитуды, периода и частоты.

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (уч.10кл. стр.167-170)

Определение вынужденных колебаний

Определение свободных (собственных) колебаний

Необходимые условия возникновения свободных колебаний (уч.10кл.стр.167 на полях)

Определение точки поворота при колебаниях

Определение, формулы и единицы измерения периода и амплитуды колебаний

Гармонические колебания (См.выше)

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно или приблизительно одинаково через одинаковые промежутки времени.

Общим признаков всех видов колебаний является повторяемость процесса движения через определенный интервал времени.

Силы, действующие между телами внутри рассматриваемой системы тел, называют внутренними силами.

Силы, действующие на тела системы со стороны других тел, называют внешними силами.

Принципиально возможны два вида колебаний:

- под действием внешних

- под действием внутренних сил.

Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием внешней периодической силы.

Свободные (собственные) колебания – колебания, происходящие под действием внутренних сил в системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.

Необходимые условия для возникновения свободных колебаний:

- наличие энергии, избыточной по сравнению в энергией системы в положении устойчивого равновесия

- наличие инертности

- работа силы трения в системе должна быть значительно меньше избыточной энергии

В отсутствии этих условий колебания быстро затухают или не возникают вообще.

Главной особенностью систем, в которых происходят колебания, являются наличие у них положения устойчивого равновесия.

Пример: груз на пружине в горизонтальной плоскости

Точка поворота – точка, в которой скорость колеблющегося тела равна нулю.

Период колебаний Т – интервал времени, в течении которого происходит одно полное колебание.

(Минимальный интервал, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний Т)

Физическая величина, обратная периоду колебаний и характеризующая количество колебаний в единицу времени, называется частотой:

ν =

Единица измерения - Гц (Герц) = с^-1. (В честь ученого Генриха Герца)

Свободные колебания пружинного маятника являются гармоническими, т.е. отклонение маятника от положения равновесия происходит по косинусоидальному закону:

x = A cos(ω₀t)

A – амплитуда колебаний -A ≤ x ≤ +A

Амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

ω₀ – циклическая частота (а не угловая скорость, как при вращательном движении)

По второму закону Ньютона F_max = F_упр.x

По закону Гука ma_x = -kx

Циклическая частота собственных гармонических колебаний пружинного маятника:

ω₀ =

T = = 2π

Период свободных колебаний пружинного маятника не зависит от начальных условий (амплитуда, скорость), а полностью определяется собственными характеристиками колебательной системы (жесткостью и массой)

Устойчивая система, выведенная из положения равновесия, возвращается к нему в результате гармонических колебаний.

Различные типы колебаний описываются подобно друг другу.

В отсутствии сил трения колебательная система является консервативной, поэтому для нее выполняется закон сохранения полной механической энергии:

E_k + E_p = E_k0 + E_p0

В начальный момент времени кинетическая энергия маятника, отклоненного на расстояние x₀=A и отпущенного со скоростью v₀=0, равна нулю.

E_p0 = Þ E = E_p0

Полная механическая энергия гармонических колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды

E =

С ростом энергии колебаний возрастает их амплитуда:

A =

чем больше жесткость k, тем меньше амплитуда колебаний

Кинетическая и потенциальная энергии непрерывно меняются, переходя друг в друга.

Полная механическая энергия системы согласно закону сохранения механической энергии:

+ = E =

Потенциальная энергия максимальна в точках поворота E_pmax =

и минимальна E_pmin = 0 в положении равновесия.

Кинетическая энергия, наоборот, минимальна E_kmin = 0 в точках поворота

и максимальна E_kmax = в положении равновесия.

Свободные колебания колебательной системы являются затухающими из-за наличия сил сопротивления (трения)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК (уч.10кл. стр.167-172)

Математический маятник.

Вынужденные и свободные колебания (см.выше уч.10кл.)

Свободные колебания пружинного маятника

График. Характер колебаний

Амплитуда. Формула

Период. Формула

Циклическая частота собственных гармонических колебаний пружинного маятника. Определение и формула

Полная механическая энергия свободных колебаний

Зависимость амплитуды от энергии

Тело небольших размеров, подвешенное на нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, называется математическим маятником.

Математический маятник – это модель, реально таких маятников нет.

Вертикальное положением является положением равновесия, при котором сила тяжести уравновешивается силой упругости.

При малых отклонениях маятника от положения равновесия возникает равнодействующая сила, направленная к положению равновесия, и его колебания являются гармоническими.

Чтобы вывести эту формулу периода гармонических колебаний математического маятника, запишем второй закон Ньютона для маятника ΣF_i = ma.

На маятник действуют сила тяжести и сила натяжения нити.

Их равнодействующая (см.рис.) равна: R = - mg

Следовательно, при малом угле отклонения (до 8^о R_x ≈ R) по оси X:

ma_x = mx’’ = - mg Þ x’’ + x = 0

Корни дифференциального уравнения????

УТОЧНИТЬ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ

Откуда: ω =

Период гармонических колебаний математического маятника при небольшом угле размаха (до 8^о) равен:

T = = 2π

При гармонических колебаниях тела, подвешенного на пружине, сила упругости равна по закону Гука: F = -kx.

Пусть: x(t) = A sin(ωt)

По второму закону Ньютона: -kx = ma

Учитывая, что ускорение a = dx²/dt² = x’’ (вторая производная координаты по времени)

ma = mx’’ = -kx Þ -mω²Asin(ωt) = -kAsin(ωt) Þ

ω =, T = = 2π

ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА (уч.10кл. стр.167-172)

См. выше «Математический маятник»

ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ

ДОБАВИТЬ

См.выше «Гармонические колебания», «Свободные колебания», «Математический маятник», «Резонанс»

При отклонении математического маятника от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается (увеличивается расстояние до Земли).

При движении к положению равновесия скорость маятника возрастает, и увеличивается кинетическая энергия, за счет уменьшения запаса потенциальной.

В положении равновесия кинетическая энергия – максимальная, потенциальная – минимальна. В положении максимального отклонения – наоборот.

С пружинным – то же самое, но берется не потенциальная энергия в поле тяготения Земли, а потенциальная энергия пружины.

Свободные колебания всегда оказываются затухающими, т.е. с убывающей амплитудой, т.к. энергия тратится на взаимодействие с окружающими телами.

Потери энергии при этом равны работе внешних сил за это же время.

Амплитуда зависит от частоты изменения силы.

Максимальной амплитуды она достигает при частоте колебаний внешней силы, совпадающей с собственной частотой колебаний системы.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при описанных условиях называется резонансом.

Так как при резонансе внешняя сила совершает за период максимальную положительную работу, то условие резонанса можно определить как условие максимальной передачи энергии системе.

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (уч.10кл. стр.167, 173-179)

Определение вынужденных колебаний (уч.10кл.стр.167)

Затухающие колебания. Определение. График для примера

Колебания под действием внешней силы (на примере)

Статическое смещение. Понятие

Определение вынужденных колебаний (уч.10кл.стр.177)

Вынужденные гармонические колебания тела. Закон колебаний. Формула амплитуды

Колебательная система.

Формула амплитуды вынужденных колебаний системы при наличии собственных колебаний

Резонанс

Свободные колебания колебательной системы являются затухающими. Однако на практике возникает потребность в создании незатухающих ко­лебаний, когда потери энергии в колебательной системе компенсируются за счёт внешних источников энергии.

В этом случае в такой системе воз­никают вынужденные колебания.

Вынужденными называют колебания, происходящие под действием периодически изменяющегося воздействия, а сами воздействия — вынуждающими.

Вынужденные колебания происхо­дят с частотой, равной частоте вынуждающих воздействий.

Амплитуда вынужденных колебаний возрастает при приближении частоты вынуж­дающих воздействий к собственной частоте колебательной системы. Она достигает максимального значения при равенстве указанных частот.

Явле­ние резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда час­тота вынуждающих воздействий равна собственной частоте колеба­тельной системы, называется резонансом.

В реальной системе механическое движение всегда сопровождается трением. Силы трения, направленные противоположно перемещению маятника, совершают отрицательную работу, уменьшая его механическую энергию.

Затухающие колебания – колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени.

Апериодические колебания достигают установившегося значения за время меньше периода.

Статическое смещение – изменение положения равновесия колебательной системы под действием постоянной силы

F_упр = kx₀ = F₀

Под действием F₀ положение равновесия маятника смещается на

x₀ = = (так как циклическая частота пружинного маятника ω₀ =)

Характеристики свободных колебаний, возникающих в системе, находящейся под воздействием постоянной силы, оказываются такими же, как и в ее отсутствие.

Смещается только положение равновесия.

Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием периодической внешней силы.

Эти колебания могут возникать как в колебательных системах, т.е. системах, имеющих положение устойчивого равновесия, так и в системах, не обладающих эти свойством.

Колебания тела под действием внешней периодической силы F_x = F₀ cos(ωt), изменяющейся по гармоническому закону:

a_x = = cos(ωt) = a₀ cos(ωt)

где = a₀ – амплитуда ускорения тела

Отклонение тела от положения равновесия x = A cos(ωt)

Амплитуда вынужденных колебаний A = =

тело колеблется между точками 0 и 2A=

Период вынужденных колебаний T =

Рассмотрим характер вынужденных колебаний в системе, в которой возможны собственные колебания с частотой ω₀ в отсутствии внешнего воздействия.

По второму закону Ньютона ma_x = -kx + F₀cos(ωt)

При колебательном движении x = A cos(ωt) и a_x = -a_n cos(ωt) = -ω²r cos(ωt),

где r =A (амплитуда)

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы ω:

A = ││

Если ω < ω₀, амплитуда вынужденных колебаний увеличивается с ростом частоты вынуждающей силы.

При ω >> ω₀ амплитуда вынужденных колебаний убывает с ростом частоты по закону квадратной гиперболы.

При ω = ω₀ – резонанс.

Резонанс – явление резкого возрастания частоты вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы с частотой собственных колебаний системы.

Резонансная кривая – график зависимости амплитуды вынужденных колебаний системы от частоты внешней силы.

При резонансе внешняя сила действует синхронно со свободными колебаниями системы.

Работа, совершаемая внешней силой при резонансе положительна, поэтому полная механическая энергия системы постоянно возрастает:

E = E₀ + F_x∆x

В реальных системах трение не дает амплитуде увеличиться до бесконечности.

Потери энергии на трение приводят к уменьшению полной механической энергии колебаний и соответственно к уменьшению их амплитуды. (кривая 2 на графике)

При свободных колебаниях система получает избыточную энергию однократно: при выведении ее из положения равновесия.

При вынужденных колебаниях источник внешнего периодического воздействия сообщает дополнительную энергию непрерывно.

Избежать резонанса можно и изменяя частоту собственных колебаний системы (например, кусочек пластилина прилепленный к дребезжащему стеклу)

Явление резонанса позволяет с помощью сравнительно малой силы получить значительное увеличение амплитуды колебаний.

РЕЗОНАНС (уч.10кл. 177-183)

Вынужденные колебания. Основные определение и понятия (см.выше уч.10кл.)

Определение и физика затухающих колебаний. Колебания в системе устойчивого равновесия

Колебательная система

Амплитуда вынужденных колебаний на примере пружинного маятника. Формула

Зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силы. Формула

График зависимости амплитуды от частоты вынуждающей силы при разных ее соотношениях с собственной частотой колебаний системы

Определение и физический и математический смысл резонанса.

Резонансная кривая. Точка резонанса на графике

Энергия и амплитуда колебаний при резонансе

Примеры резонанса

Примеры резонанса в электроцепях (ДОПОЛНИТЬ ИЗ ДРУГОГО ИСТОЧНИКА)

См.выше «Вынужденные колебания» (уч.10кл. стр.167, 173-179)

Явление резонанса широко используется в технике. Оно может быть как полезным, так и вредным. Так, например, явление электрического ре­зонанса играет полезную роль при настройке радиоприемника на нужную радиостанцию изменяя величины индуктивности и ёмкости, можно до­биться того, что собственная частота колебательного контура совпадёт с частотой электромагнитных волн, излучаемых какой-либо радиостанцией.

ПОНЯТИЕ ОБ АВТОКОЛЕБАНИЯХ

Вынужденные колебания это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы.

Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника.

Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах автоколебаниями.

В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента:

- колебательная система

- источник энергии

- устройство обратной связи между колебательной системой и источником.

В качестве колебательной системы может быть использована любая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести.

Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом. Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник балансиром маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.

Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир.

Источником энергии поднятая вверх гиря или заведенная пружина.

Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод.

Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом.

При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение.

Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т.д.

Дата добавления: 2015-11-14