Критерії оптимізації

В залежностi вiд того, яким чином вибираються i об’єднуються вихiднi параметри в скалярнiй функцiї, розpiзняють часткові, аддитивнi, мультiплiкативнi, мiнiмакснi, cтатистичнi критерiї i т.д.

Часткові критерії можуть застосовуватись в випадках, коли серед вихiдних параметрiв можна видiлити один основний параметр y_і(X), який повнiстю вiдображує ефективнiсть об’єкта, що проектується. Цей параметр приймають за цiльову функцiю. Прикладом таких параметpiв є:

1. для енергетичного об’єкта - потужність

2. для технологiчного автомата - продуктивнiсть;

3. для транспортних засобiв - вантажопiдйомнiсть;

Для багатьох технiчних об’єктiв таким параметром є вартiсть. Умови працездатностi всiх iнших вихiдних параметрiв об’єкта вiдносять при цьому до функцiональних обмежень. Оптимiзацiя на основi такої постановки називається оптимiзацiєю по частковому критерiю.

Перевага такого пiдходу – його простота, суттєвий недолiк – те, що великий запас працездатностi можна отримати лише по основному параметру, що прийнятий як цiльова функцiя, а iншi вихiднi параметри взагалi не будуть мати запасу.

Зважений адетивний критерій застосовують тодi, коли умови працездатностi дозволяють видiлити двi групи вихiдних параметрiв. В першу групу входять вихiднi параметри значення яких в процесi оптимiзацiї потрiбно збiльшити y_j⁺(X) (продуктивнiсть, ймовiрнiсть безвiдмовної роботи i т.п.),у другу – вихiднi параметри, значення яких слiд зменшити y_j^-(X) (витрата палива, тривалiсть перехiдного процесу, змiшування i т.п.). Об’єднання декiлькох вихiдних параметрiв, що мають рiзну фiзичну розмiрнiсть, в однiй скалярнiй цiльовiй функцiї вимагає попереднього нормування цих параметрiв.

Для випадку мінімізації цільової функції векторний критерій буде мати вигляд

F(X)= _jy_j^-(X) – a_jy_j⁺(X), (2.3)

Де а_j>0–ваговий коефіцієнт, що визначає важливість j-го вихідного параметра (аj вибирається проектувальником і в процесі оптимізації залишаються постійними).

Цільову функцію у вигляді (2.3), що виражає аддетивний критерій, можна записати і в тому випадку, коли всі його основні умови працездатності мають вигляд рівності. Тоді цільова функція

F(X)= a_j[y_j(X)-y_TTj(X)]². (2.4)

Визначає середньо квадратичне наближення y_j(X) до заданих технічних вимог TВj.

Мультиплікативний критерій може застосовуватись в тих випадках, коли вiдсутнi умови працездатностi типу рiвностей i вихiднi параметри не можуть приймати нульовi значення. Тоді мінімізована мультиплікативна цільова функція має вигляд

F(X)= y_j^-(X)l y_j⁺(X). (2.5)

Одним з найбiльш суттєвих недолiкiв як аддетивного, так i мультиплiкативного критерiя є неврахування в постановцi задачi технiчних вимог, якi пред’являються до вихiдних параметрiв.

Критерій форми функції використовують, коли ставиться задача найкращого спiвпадання заданої характеристики y_TT(X, ) з відповідною вихідною характеристикою y(X, ) об’єкту, що проектується, де –деяка змінна, наприклад, частота, час. До таких задач вiдносяться: проектування схеми автоматичного регулювання, що забезпечує необхiдний вигляд перехiдного процесу по параметру; що регулюється, пошук параметрiв перетину балки, i т.п.

Використання часткового критерiя оптимiзацiї в цих випадках зводиться до замiни безперервних характеристик кiнцевою множиною вузлових точок i вибору однiєї з наступних цiльових функцiй, що пiдлягають мiнiмiзацiї

F(X)= a_j[y(X, _j)–y_TT(X, _j)];

F(X)=max a_j[y(X, _j)–y_TT(X, _j)];

j [1:p]

F(X)= a_j[y(X, _j)–y_TT(X, _j)]²l n, (2.6)

Де р – кількість вузлових точок _j на осі змінної ; а_j – вагові коефіцієнти, значення яких тим більше чим менше відхилення y(X, _j)–y_TT(X, _j) потрібно отримати в j-й точці.

Максімінні (мінімаксні) критерії дозволяють досягнути мети оптимального проектування – найкращого виконання умов працездатності.

Введемо кількісну оцінку ступеня виконання j-ї умови працездатності, позначивши її через z_j і будемо називати запасом працездатності параметра y_j. Розрахунок запасу по j-му вихідному параметру можна виконати різними методами, наприклад

Z_j=a_j(TT_j–y_jном/ _j–1), (2.7)

Де а_j – ваговий коефіцієнт; y_jном – номінальне значення j-го вихідного параметру; _j–величина, що характеризує розповсюдження j-го вихідного параметру.

Якість функціонування технічної системи характеризується вектором вихідних параметрів, тобто вектором Z=(z₁,z₂,...z_m).Тому цільову функцію слід формувати як деяку функцію (Z) вектора оцінок. Наприклад, якщо в якості цільової функції розглядається запас лише того вихідного параметра, який в даній точці Х є найгіршим з позиції виконання вимог ТЗ, то

F(X)=min z_j (X), (2.8)

1 j m

m - кількість запасів працездатності

Природньо тепер поставити задачу вибору такої стратегії пошуку Х, яка б максимізувала мінімальний із запасів, тобто

maxF(X) = max min z_j(X),

X ХД X ХД 1 j m

де ХД – допустима для пошуку область.

Критерій оптимізації з цільовою функцією (2.8) називають максимінним критерієм

Дата добавления: 2015-11-14