Цiльова функція

Бiльшiсть задач оптимiзації моделі об’єкту формулюється в термiнах безперервних параметрiв. Якщо екстремум цiльової функції шукаємо в необмеженiй областi ХО, то його називають безумовним, а методи пошуку – методами безумовної оптимiзації.

Максимумом або мiнiмумом функцiї F(X) називають її значення F(X*), якщо для будь - якої точки X S (X*) при достатньо малому >0 (за винятком самої точки X*) виконується нерiвнiсть F(X) - F(X*)<0 або F(X)-F(X*)>0 вiдповiдно.

Точку Х* називають точкою локального екстремуму.

Глобальним екстремумом називають точку, в якiй цiльова функцiя має найбiльше (найменше) значення серед всiх локальних екстремумiв областi визначення.

Функцiю F(X) називають одноекстремальною, якщо вона має один екстремум i багатоекстремальною, якщо вона має бiльше одного екстремуму. Вiдповiдно видiляють одно - i багатоекстремальнi задачi оптимiзації.

Необхiднi i достатнi умови екстремуму. Наявнiсть аналiтичного опису цiльової функції дозволяє отримати рiшення поставленої задачi безумовної оптимiзації, використовуючи вiдомi iз аналiзу необхiднi i достатнi умови iснування екстремуму. Нехай F(X)–скалярна функція векторного аргументу розмірності n і не менше ніж двічі диференційована. Щоб точка Х* була точкою безумовного локального екстремуму функції F(X), необхідно, щоб всі її частинні похідні по елементам х_і вектора Х в точці Х* дорівнювали нулю,

, при і [1:n]. (2.1)

Необхідні умови екстремуму – умови стаціонарності – можуть бути записані у вигляді

F(X*)=0, (2.2)

де F(X*)=( F(X*)/ x_{1,……….,} F(X*)/ x_n)–градієнт цільової функції в точці Х*.

Градієнтом функції F(X) в будь-якій точці Х_к називають n-вимірний вектор, компоненти якого дорівнюють частинним похідним функції F(X), що обчислюються в точці Х_к по всім параметрам, що керуються.

Характер екстремуму функції в стаціонарній точці визначається дослідженням поведінки функції F(X) навколо точки Х*. Для цього формується матриця других похідних цільової функції по параметрам, що керуються (матриця Гессе).Якщо вона визначена позитивно, то в точці Х* функція F(X) має безумовний мінімум, якщо визначена негативно – безумовний максимум. В інших випадках точка Х* є сідловою точкою.

Дата добавления: 2015-11-14