Модели массового обслуживания

Для многих промышленных систем характерен поток входных требований, поступающих на одну или несколько станций обслуживания и образующих очередь. Заявками могут быть торговые заказы, заявки на ремонт, заявки на заправку автомобиля и т.д. Станция обслуживания (обслуживающее устройство) – совокупность машин, работающих последовательно или параллельно, этап производственного процесса и т.п.

Как правило, интервалы между поступлениями заявок и продолжительности их обслуживания являются случайными величинами. С точки зрения экономической теории проблема очередей сводится к балансированию предельных издержек, связанных с ожиданием в очереди и с простоем оборудования.

Чем больше обслуживающих устройств, тем меньше вероятность того, что вновь прибывшая заявка будет ожидать в очереди, но зато велики затраты на содержание обслуживающих устройств, имеет место простой оборудования, которое могло бы давать прибыль. Чем меньше обслуживающих устройств, тем это предприятию обходится дешевле, но возрастают издержки, связанные с ожиданием в очереди, с потерей клиентов. С точки зрения клиентов, необходимо больше обслуживающих устройств.

Общие обозначения систем массового обслуживания (СМО): a / b / c, где

a – распределение времени между последовательными заявками

b – распределение времени обслуживания

c – количество станций обслуживания

Например, простейшая СМО – система, состоящая из 1 устройства обслуживания, на которое поступают заявки, образующие обычную очередь. M / M /1. M – Пуассоновское распределение. Простейшее описание может быть расширено при включении дополнительных величин: правила приоритета, максимальная длина очереди, общее количество потенциальных заявок в системе.

Есть различные правила приоритета:

· FCFS – first come first served (первая заявка обслуживается первой)

· LCFS – last come first served (последняя заявка обслуживается первой)

· SJF – shortest jobs first (короткие работы выполняются в первую очередь)

Есть также правила поведения клиентов:

· если очередь слишком длинная, то клиенты покидают систему, не становятся в очередь

· если клиент слишком долго стоит в очереди, то он покидает очередь

· клиенты переходят из одной очереди в другую

Приняты следующие обозначения:

AT – inter arrival time, интервал времени между поступлением двух последовательных заявок

TAT – total inter arrival time, общее (суммарное) время поступления заявок

ST – service time, время обслуживания

TST – total service time, общее время обслуживания

WT – waiting time, время ожидания в очереди, за исключением времени обслуживания данной заявки

TWT – total waiting time, суммарное время обслуживания

IT – idle time, время простоя станции обслуживания

TIT – total idle time, суммарное время простоя

QL – queue length, длина очереди

TIME – текущее время системы

Допустим, есть такая информация:

Номер клиента
TAT
AT
ST

Время AT_i прибытия заявки вычисляется как разница между временем прибытия заявок i-1 и i. Сложение всех величин AT_i дает TAT_i, то есть общее, суммарное время прибытия заявки.

Длина очереди

Время

Такую простую модель можно рассмотреть вручную, имея таблицу случайных чисел, соответствующую распределениям AT и ST.

Например, можно определить среднее время ожидания и среднее время простоя:

Рассмотрим два подхода к моделированию времени.

Есть два подхода:

1. с фиксированными промежутками времени;

2. с переменными промежутками времени, то есть, по событиям.

При первом подходе мы делим время на периоды одинаковой фиксированной длины. Обычно такой подход лучше, если важны изменения в целой системе, а не в ее отдельных единицах. Например, в модели управления запасами важно изменение общего запаса.

t₀ t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ time

t₀ t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ time

Во втором подходе мы не делим время на одинаковые части. Нас интересует, в какой момент времени происходит очередное событие. Таким образом, представляет интерес поведение отдельных заявок и других объектов, например, в моделях теории очередей. Обычно сама задача диктует целесообразность представления времени тем или иным образом, но иногда это бывает неясно. Можно предложить такие рекомендации. Если регулярно происходит много событий, то более эффективен способ представления времени с фиксированными промежутками, но здесь есть и недостатки (трудность выбора промежутка времени, а также агрегирование событий – события, происшедшие в течение промежутка времени, считаются происшедшими одновременно, в конце этого промежутка). Если промежуток времени довольно велик, то получится неадекватная модель и плохие результаты. Если же промежуток времени мал, то мы будем имитировать множество интервалов времени, в течение которых ничего не произойдет, то есть неэффективно будет расходоваться время.

Дата добавления: 2015-11-14