Читайте также: |
|
3. В базисе найдите матрицу оператора отражения трёхмерного пространства в подпространстве
параллельно
.
4. Найдите все значения параметра , при которых квадратичная форма
является положительно определённой.
Задание 41.
1. Найдите линейную оболочку системы многочленов .
2. Определите взаимное расположение двух прямых и
в
.
3. Выясните, подобны ли матрицы и
. Если
и
подобны, найдите матрицу подобия. Однозначно ли определена матрица подобия?
.
4. – ортонормированный базис. В базисе
оператор
имеет матрицу
. Найдите матрицу сопряжённого оператора
в базисе
. Найдите матрицу оператора
в базисе
.
Задание 42.
1. Докажите, что для любого подпространства линейного пространства
найдется дополнительное подпространство, т.е. такое подпространство
, что
. Единственным ли образом определено дополнительное подпространство для данного
?
2. Совместна ли система уравнений? Если система уравнений совместна, то найдите какое-либо её частное решение; найдите общее решение.
3. ;
. Найдите матрицу оператора
.
4. Найдите уравнение такой хорды гиперболы , которая точкой
делится пополам.
Задание 43.
1. Проверьте, является ли система векторов-строк линейно зависимой или линейно независимой. Найдите линейно независимую подсистему векторов-строк, состоящую из наибольшего числа элементов.
2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и
в
.
3. Пусть пространство есть прямая сумма подпространств
. Докажите, что действие линейного оператора
на любой вектор пространства
определяется единственным образом, если известно действие этого оператора на каждом из подпространств
.
4. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .
Задание 44.
1. Проверьте, является ли система векторов-строк линейно зависимой или линейно независимой. Найдите линейно независимую подсистему векторов-строк, состоящую из наибольшего числа элементов.
2. Определите взаимное расположение двух прямых.
3. В базисе оператор
имеет матрицу
. Найдите его матрицу в базисе
,
,
.
4. Квадратичная форма
задана в ортонормированном базисе. Приведите её к главным осям ортогональным преобразованием переменных.
Задание 45.
1. Докажите, что в пространстве множество всех чётных многочленов (
для всех
) является подпространством. Найдите какое-нибудь подпространство, дополнительное к нему.
2. Совместна ли система уравнений? Если система уравнений совместна, то найдите какое-либо её частное решение; найдите общее решение.
3. Опишите образ и ядро оператора дифференцирования в пространстве .
4. Найдите и
, где
– линейное подпространство в
, натянутое на заданные векторы
.
,
,
.
;
,
,
.
Задание 46.
1. Докажите, что в базисом является всякая система ненулевых многочленов, содержащая по одному многочлену каждой степени
.
2. Плоскость в линейном пространстве имеет направляющее подпространство
. Докажите, что если
, то
. Докажите, что если
, а
, то
.
3. Выясните, подобны ли матрицы и
. Если
и
подобны, найдите матрицу подобия. Однозначно ли определена матрица подобия?
.
4. Найдите уравнение такой хорды параболы , которая точкой
делится пополам.
Задание 47.
1. Найдите линейную оболочку системы многочленов .
2. Докажите, что многочлен степени полностью определяется своими значениями при любых 4 попарно различных значениях независимой переменной.
3. – координаты элемента
, а оператор
задан своим действием в базисе
. Найдите его матрицу
.
.
4. Докажите, что если последовательность элементов линейного пространства сходится к элементу
по норме
, то у числовой последовательности
существует предел
. Следует ли из сходимости последовательности
сходимость последовательности элементов
по норме
?
Задание 48.
1. Докажите, что подпространство
тогда и только тогда является прямой суммой подпространств
, когда пересечение каждого из подпространств
, с суммой остальных подпространств состоит только из нулевого вектора.
2. Совместна ли система уравнений? Если система уравнений совместна, то найдите какое-либо её частное решение; найдите общее решение.
3. Опишите образ и ядро оператора дифференцирования в пространстве .
4. Дана симметричная действительная матрица
. Найдите действительную диагональную матрицу
и ортогональную матрицу
такие, что
.
Задание 49.
1. Найдите матрицу перехода от базиса к базису
в пространстве
.
2. Определите взаимное расположение прямой и плоскости.
3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на
параллельно
.
4. В базисе пространства
линейная форма имеет вид
. Найдите её выражение в естественном базисе
.
Задание 50.
1. Проверьте, является ли система векторов-строк линейно зависимой или линейно независимой. Найдите линейно независимую подсистему векторов-строк, состоящую из наибольшего числа элементов.
2. Определите взаимное расположение двух прямых и
в
.
3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на
параллельно
.
4. Найдите все собственные значения матрицы ,
их алгебраические и геометрические кратности. Задает ли эта матрица оператор простой структуры?
Задание 51.
1. Докажите, что -матрица
перестановочна со всеми
-матрицами в том и только в том случае, если
– скалярная матрица.
2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и
в
.
3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на
параллельно
.
4. Найдите уравнение такой хорды эллипса , которая точкой
делится пополам.
Задание 52.
1. Докажите, что сумма подпространств
и
тогда и только тогда будет их прямой суммой, когда объединение базисов этих подпространств является базисом их суммы.
2. Найдите фундаментальную систему решений системы уравнений; найдите общее решение.
3. Выясните, подобны ли матрицы и
. Если
и
подобны, найдите матрицу подобия. Однозначно ли определена матрица подобия?
.
4. В действительном линейном пространстве введены два разных скалярных произведения
и
. Будет ли скалярным произведением в
функция
? Будет ли скалярным произведением в
функция
, где
,
,
?
Задание 53.
1. Проверьте, что векторы ,
,
,
образуют базис в
. Проверьте, что векторы
,
,
,
образуют базис в
. Найдите матрицу перехода от базиса
к базису
. Как связаны координаты
и
одного и того же вектора в этих двух базисах?
2. Определите взаимное расположение прямой и плоскости.
3. Проверьте, что оператор дифференцирования является вырожденным в пространстве многочленов степени не выше
; является невырожденным на двумерном линейном пространстве, натянутом на функции
и
(с обычными определениями сложения функций и умножения функции на число).
4. В параболе проведены всевозможные хорды, параллельные прямой
. Докажите, что середины всех этих хорд лежат на прямой
.
Задание 54.
1. Является ли линейно зависимой или линейно независимой система элементов ,
,
,
пространства
?
2. Совместна ли система уравнений? Если система уравнений совместна, то найдите какое-либо её частное решение; найдите общее решение.
3. Докажите, что произведение операторов и
тогда и только тогда будет невырожденным оператором, когда каждый из операторов
и
не вырожден. При этом
.
4. Оператор переводит элементы
,
,
в элементы
,
,
соответственно; все элементы заданы своими координатами в ортонормированном базисе
. Найдите матрицу сопряжённого оператора
в базисе
.
Задание 55.
1. Проверьте, что векторы ,
,
,
образуют базис в
и найдите координаты вектора
в этом базисе.
2. Найдите фундаментальную систему решений системы уравнений; найдите общее решение.
Дата добавления: 2015-11-13; просмотров: 37 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Кривые и поверхности второго порядка. 3 страница | | | модели с системой управления работой двигателя SAAB Trionic |