Кривые и поверхности второго порядка. 3 страница

4. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

Задание 25.

1. Найдите число операций умножения и число операций сложения при перемножении -матрицы и -матрицы .

2. Пусть фиксированы число и элемент евклидова пространства. Докажите, что множество всех элементов этого пространства, удовлетворяющих условию , является гиперплоскостью. Найдите её направляющее подпространство. При каком указанная гиперплоскость сама является подпространством?

3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на параллельно .

4. В гиперболе проведены всевозможные хорды, параллельные прямой . Докажите, что середины всех этих хорд лежат на прямой .

Задание 26.

1. Докажите, что квадратная матрица перестановочна со всеми диагональными матрицами в том и только в том случае, если диагональна.

2. Найдите в три линейно независимых многочлена , удовлетворяющих условиям .

3. В пространстве матриц введена норма . . Докажите, что . ( или .)

4. Дана матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе: . Найдите каноническую квазидиагональную форму матрицы этого оператора; укажите, в каком ортонормированном базисе она получена. Однозначно ли определён искомый базис?

Задание 27.

1. Систему многочленов дополните до базиса пространства .

2. Докажите, что в плоскости размерности , которая не является подпространством, найдется линейно независимых векторов, а любые её вектора линейно зависимы.

3. Выясните, подобны ли матрицы и . Если и подобны, найдите матрицу подобия. Однозначно ли определена матрица подобия? .

4. Кривая второго порядка задана в декартовой прямоугольной системе координат . При помощи переноса начала координат и ортогонального преобразования переменных найдите главные оси кривой. Найдите каноническое уравнение кривой и определите её тип.

Задание 28.

1. Проверьте, что векторы , , , образуют базис в и найдите координаты вектора в этом базисе.

2. Найдите условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точки , , , лежали в одной плоскости пространства .

3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на параллельно .

4. Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе. Приведите её к главным осям ортогональным преобразованием переменных.

Задание 29.

1. Докажите, что вычисление матрицы , обратной к -матрице , сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, каждая из которых состоит из уравнений с неизвестными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу .

2. Совместна ли система уравнений? Если система уравнений совместна, то найдите какое-либо её частное решение; найдите общее решение.

3. ; . Найдите матрицу оператора .

4. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

Задание 30.

1. Докажите, что в базисом является всякая система ненулевых многочленов, содержащая по одному многочлену каждой степени .

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. Образует ли линейное подпространствов множество всех операторов, имеющих один и тот же образ? Имеющих одно и то же ядро?

4. Найдите все значения параметра , при которых квадратичная форма является положительно определённой.

Задание 31.

1. Докажите, что элементарными преобразованиями строк (столбцов) квадратную матрицу можно привести к треугольному виду, где все элементы по одну сторону от диагонали равны нулю.

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. Выясните, подобны ли матрицы и . Если и подобны, найдите матрицу подобия. Однозначно ли определена матрица подобия? .

4. Пусть процесс ортогонализации применяется к произвольной системе векторов . Докажите, что если система линейно зависима, то на некотором шаге процесса ортогонализации получится нулевой вектор.

Задание 32.

1. Докажите, что если элементарные преобразования строк, которыми данная невырожденная матрица приводится к единичной матрице, в том же порядке применить к строкам единичной матрицы, то в результате получится обратная матрица .

2. Найдите фундаментальную систему решений системы уравнений; найдите общее решение.

3. В базисе пространства оператор задан матрицей . Найдите его матрицу в базисе .

4. Кривая второго порядка задана в декартовой прямоугольной системе координат . При помощи переноса начала координат и ортогонального преобразования переменных найдите главные оси кривой. Найдите каноническое уравнение кривой и определите её тип.

Задание 33.

1. Докажите, что вычисление матрицы , обратной к -матрице , сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, каждая из которых состоит из уравнений с неизвестными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу .

2. Выясните, является ли пересечение трёх гиперплоскостей в прямой линией. , , .

3. В базисе оператор имеет матрицу . Найдите его матрицу в базисе , , .

4. Для данной ортогональной матрицы найдите квазидиагональную ортогональную матрицу и ортогональную матрицу такие, что .

Задание 34.

1. Является ли линейно зависимой или линейно независимой система элементов , , , пространства ?

2. Найдите условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точки , , , лежали в одной плоскости пространства .

3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на параллельно .

4. Кривая второго порядка задана в декартовой прямоугольной системе координат . При помощи переноса начала координат и ортогонального преобразования переменных найдите главные оси кривой. Найдите каноническое уравнение кривой и определите её тип.

Задание 35.

1. Найдите линейную оболочку системы многочленов .

2. Направляющее подпространство плоскости в натянуто на векторы , , , а её вектор сдвига . Найдите размерность этой плоскости. Найдите задающее её параметрическое векторное уравнение. Определите взаимное расположение этой плоскости с каждой из трех прямых :

3. Найдите матрицу оператора в базисе . Найдите матрицу оператора в паре базисов и . Найдите матрицу оператора в базисе .

4. Подобны ли матрицы и ?

Задание 36.

1. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой системы и обратно. Докажите, что две эквивалентные линейно независимые системы содержат одинаковое число векторов.

2. Найдите фундаментальную систему решений системы уравнений; найдите общее решение.

3. – координаты элемента , а оператор задан своим действием в базисе . Найдите его матрицу . .

4. Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе. Приведите её к главным осям ортогональным преобразованием переменных.

Задание 37.

1. Найдите число операций умножения при вычислении произведения . Зависит ли число этих операций от расстановки скобок: ?

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. Найдите матрицу оператора в базисе . Найдите матрицу оператора в паре базисов и . Найдите матрицу оператора в базисе .

4. Дана матрица линейного оператора в ортонормированном базисе . Найдите ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора и его матрицу в этом базисе. Однозначно ли определен искомый базис?

Задание 38.

1. Докажите, что вычисление матрицы , обратной к -матрице , сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, каждая из которых состоит из уравнений с неизвестными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу .

2. Докажите, что если – невырожденный оператор, то для любого подпространства имеет место равенство .

3. Докажите, что поворот трехмерного пространства на угол вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями , является линейным оператором, и найдите матрицу этого оператора в базисе из единичных векторов осей координат.

4. Линейное пространство . В подпространстве введено скалярное произведение , в подпространстве введено скалярное произведение . Пусть и – произвольные элементы пространства , , , где , . Будет ли скалярным произведением в функция ?

Задание 39.

1. Докажите, что если элементарные преобразования строк, которыми данная невырожденная матрица приводится к единичной матрице, в том же порядке применить к строкам единичной матрицы, то в результате получится обратная матрица .

2. Найдите какую-нибудь однородную систему двух линейных уравнений, которая имеет следующую фундаментальную систему решений: , , .

3. Докажите, что при любом выборе нормы в пространстве матриц норма единичной матрицы не меньше, чем 1.

4. Кривая второго порядка задана в декартовой прямоугольной системе координат . При помощи переноса начала координат и ортогонального преобразования переменных найдите главные оси кривой. Найдите каноническое уравнение кривой и определите её тип.

Задание 40.

1. Проверьте, является ли система векторов-строк линейно зависимой или линейно независимой. Найдите линейно независимую подсистему векторов-строк, состоящую из наибольшего числа элементов.

2. Найдите фундаментальную систему решений системы уравнений; найдите общее решение.

Дата добавления: 2015-11-13