Читайте также: |
|
2. Найдите какую-нибудь однородную систему двух линейных уравнений, которая имеет следующую фундаментальную систему решений: ,
,
.
3. . Отображение
каждому элементу
, где
,
, ставит в соответствие элемент
. (Такое отображение называется отражением пространства
в подпространстве
параллельно подпространству
.) Выясните, является ли отображение
линейным оператором.
4. Дана симметричная действительная матрица
. Найдите действительную диагональную матрицу
и ортогональную матрицу
такие, что
.
Задание 14.
1. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой системы и обратно. Докажите, что две эквивалентные линейно независимые системы содержат одинаковое число векторов.
2. Найдите условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точек
,
,
лежали на одной прямой в плоскости
.
3. Докажите, что существует единственный оператор
, переводящий векторы
в векторы
соответственно. Найдите матрицу этого оператора в паре базисов
и
. Найдите матрицу этого оператора в естественном базисе
. Найдите образ вектора
.
4. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение многочленов
,
(старшие коэффициенты многочленов могут быть равны нулю) задано формулой
. Найдите ортогональное дополнение до
подпространства всех чётных многочленов. Найдите ортогональное дополнение до
подпространства всех многочленов, удовлетворяющих условию
.
Задание 15.
1. Вычислите определитель, пользуясь только определением:
2. Плоскость в линейном пространстве имеет направляющее подпространство
. Докажите, что если
, то
. Докажите, что если
, а
, то
.
3. В естественном базисе найдите матрицу оператора
, переводящего векторы
,
в векторы
,
соответственно.
4. В действительном пространстве многочленов с действительными коэффициентами , введено скалярное произведение
. Является ли ортогональным оператор
? Найдите собственные подпространства оператора
.
Задание 16.
1. Докажите, что сумма подпространств
и
тогда и только тогда будет их прямой суммой, когда объединение базисов этих подпространств является базисом их суммы.
2. Выясните, является ли пересечение трёх гиперплоскостей в прямой линией.
,
,
.
3. В базисе найдите матрицу оператора отражения трёхмерного пространства в подпространстве
параллельно
.
4. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение задано формулой
. Постройте ортонормированную систему многочленов, эквивалентную системе
.
Задание 17.
1. Проверьте, что векторы ,
,
,
образуют базис в
. Проверьте, что векторы
,
,
,
образуют базис в
. Найдите матрицу перехода от базиса
к базису
. Как связаны координаты
и
одного и того же вектора в этих двух базисах?
2. Выясните, является ли пересечение трёх гиперплоскостей в прямой линией.
,
,
.
3. В базисе найдите матрицу оператора отражения трёхмерного пространства в подпространстве
параллельно
.
4. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .
Задание 18.
1. Найдите линейную оболочку системы многочленов .
2. Найдите условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точки ,
,
,
лежали в одной плоскости пространства
.
3. Докажите, что множество всех прообразов элемента образует в пространстве
плоскость с направляющим подпространством
.
.
4. Скалярное произведение векторов
и
в
задано формулой
. Постройте ортонормированную систему векторов, эквивалентную данной линейно независимой системе векторов
,
,
, ортогонализуя её.
Задание 19.
1. Составьте базис пространства из многочленов степени
. Существует ли в
базис, не содержащий ни одного многочлена степени
?
2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и
в
.
3. В линейном пространстве фиксирован базис
. Докажите, что действие линейного функционала
на произвольный элемент
пространства
можно определить по формуле
, где
– координаты вектора
в базисе
,
– образы базисных векторов
. Обратно, формула
определяет линейный функционал на
при любых числах
.
4. Квадратичная форма
задана в ортонормированном базисе. Приведите её к главным осям ортогональным преобразованием переменных.
Задание 20.
1. Является ли линейно зависимой или линейно независимой система элементов ,
,
,
пространства
?
2. Выясните, является ли пересечение трёх гиперплоскостей в прямой линией.
,
,
.
3. Докажите, что всякий линейный оператор линейно зависимую систему векторов переводит снова в линейно зависимую.
4. Линейное пространство . В подпространстве
введена норма
, в подпространстве
введена норма
. Пусть
– произвольный элемент пространства
,
, где
,
. Будет ли нормой в
функция
?
Задание 21.
1. Проверьте, что система элементов образует базис пространства
. Проверьте, что система элементов
образует базис пространства
. Найдите координаты многочлена
в каждом из этих базисов.
2. Найдите в три линейно независимых многочлена
, удовлетворяющих условиям
.
3. Докажите, что существует единственный оператор
, переводящий векторы
в векторы
соответственно. Найдите матрицу этого оператора в паре базисов
и
. Найдите матрицу этого оператора в естественном базисе
. Найдите образ вектора
.
4. Найдите и
, где
– линейное подпространство в
, натянутое на заданные векторы
.
,
,
.
;
,
,
.
Задание 22.
1. Проверьте, что векторы ,
,
,
образуют базис в
и найдите координаты вектора
в этом базисе.
2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и
в
.
3. Докажите, что если – невырожденный оператор, то для любого подпространства
имеет место равенство
.
4. В эллипсе проведены всевозможные хорды, параллельные прямой
. Докажите, что середины всех этих хорд лежат на прямой
.
Задание 23.
1. Проверьте, что векторы ,
,
,
образуют базис в
и найдите координаты вектора
в этом базисе.
2. Найдите какую-нибудь однородную систему двух линейных уравнений, которая имеет следующую фундаментальную систему решений: ,
,
.
3. В базисе оператор
имеет матрицу
. Найдите его матрицу в базисе
,
,
.
4. Найдите все собственные значения матрицы ,
их алгебраические и геометрические кратности. Задает ли эта матрица оператор простой структуры?
Задание 24.
1. Докажите, что если элементарные преобразования строк, которыми данная невырожденная матрица приводится к единичной матрице, в том же порядке применить к строкам единичной матрицы, то в результате получится обратная матрица
.
2. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки ,
,
в пространстве
.
3. В естественном базисе найдите матрицу оператора
, переводящего векторы
,
в векторы
,
соответственно.
Дата добавления: 2015-11-13; просмотров: 40 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Кривые и поверхности второго порядка. 1 страница | | | Кривые и поверхности второго порядка. 3 страница |