Кривые и поверхности второго порядка. 2 страница

2. Найдите какую-нибудь однородную систему двух линейных уравнений, которая имеет следующую фундаментальную систему решений: , , .

3. . Отображение каждому элементу , где , , ставит в соответствие элемент . (Такое отображение называется отражением пространства в подпространстве параллельно подпространству .) Выясните, является ли отображение линейным оператором.

4. Дана симметричная действительная матрица . Найдите действительную диагональную матрицу и ортогональную матрицу такие, что .

Задание 14.

1. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждый вектор одной системы линейно выражается через векторы другой системы и обратно. Докажите, что две эквивалентные линейно независимые системы содержат одинаковое число векторов.

2. Найдите условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точек , , лежали на одной прямой в плоскости .

3. Докажите, что существует единственный оператор , переводящий векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу этого оператора в паре базисов и . Найдите матрицу этого оператора в естественном базисе . Найдите образ вектора .

4. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение многочленов , (старшие коэффициенты многочленов могут быть равны нулю) задано формулой . Найдите ортогональное дополнение до подпространства всех чётных многочленов. Найдите ортогональное дополнение до подпространства всех многочленов, удовлетворяющих условию .

Задание 15.

1. Вычислите определитель, пользуясь только определением:

2. Плоскость в линейном пространстве имеет направляющее подпространство . Докажите, что если , то . Докажите, что если , а , то .

3. В естественном базисе найдите матрицу оператора , переводящего векторы , в векторы , соответственно.

4. В действительном пространстве многочленов с действительными коэффициентами , введено скалярное произведение . Является ли ортогональным оператор ? Найдите собственные подпространства оператора .

Задание 16.

1. Докажите, что сумма подпространств и тогда и только тогда будет их прямой суммой, когда объединение базисов этих подпространств является базисом их суммы.

2. Выясните, является ли пересечение трёх гиперплоскостей в прямой линией. , , .

3. В базисе найдите матрицу оператора отражения трёхмерного пространства в подпространстве параллельно .

4. В пространстве многочленов с действительными коэффициентами скалярное произведение задано формулой . Постройте ортонормированную систему многочленов, эквивалентную системе .

Задание 17.

1. Проверьте, что векторы , , , образуют базис в . Проверьте, что векторы , , , образуют базис в . Найдите матрицу перехода от базиса к базису . Как связаны координаты и одного и того же вектора в этих двух базисах?

2. Выясните, является ли пересечение трёх гиперплоскостей в прямой линией. , , .

3. В базисе найдите матрицу оператора отражения трёхмерного пространства в подпространстве параллельно .

4. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

Задание 18.

1. Найдите линейную оболочку системы многочленов .

2. Найдите условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точки , , , лежали в одной плоскости пространства .

3. Докажите, что множество всех прообразов элемента образует в пространстве плоскость с направляющим подпространством . .

4. Скалярное произведение векторов и в задано формулой . Постройте ортонормированную систему векторов, эквивалентную данной линейно независимой системе векторов , , , ортогонализуя её.

Задание 19.

1. Составьте базис пространства из многочленов степени . Существует ли в базис, не содержащий ни одного многочлена степени ?

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. В линейном пространстве фиксирован базис . Докажите, что действие линейного функционала на произвольный элемент пространства можно определить по формуле , где – координаты вектора в базисе , – образы базисных векторов . Обратно, формула определяет линейный функционал на при любых числах .

4. Квадратичная форма задана в ортонормированном базисе. Приведите её к главным осям ортогональным преобразованием переменных.

Задание 20.

1. Является ли линейно зависимой или линейно независимой система элементов , , , пространства ?

2. Выясните, является ли пересечение трёх гиперплоскостей в прямой линией. , , .

3. Докажите, что всякий линейный оператор линейно зависимую систему векторов переводит снова в линейно зависимую.

4. Линейное пространство . В подпространстве введена норма , в подпространстве введена норма . Пусть – произвольный элемент пространства , , где , . Будет ли нормой в функция ?

Задание 21.

1. Проверьте, что система элементов образует базис пространства . Проверьте, что система элементов образует базис пространства . Найдите координаты многочлена в каждом из этих базисов.

2. Найдите в три линейно независимых многочлена , удовлетворяющих условиям

.

3. Докажите, что существует единственный оператор , переводящий векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу этого оператора в паре базисов и . Найдите матрицу этого оператора в естественном базисе . Найдите образ вектора .

4. Найдите и , где – линейное подпространство в , натянутое на заданные векторы . , , . ; , , .

Задание 22.

1. Проверьте, что векторы , , , образуют базис в и найдите координаты вектора в этом базисе.

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. Докажите, что если – невырожденный оператор, то для любого подпространства имеет место равенство .

4. В эллипсе проведены всевозможные хорды, параллельные прямой . Докажите, что середины всех этих хорд лежат на прямой .

Задание 23.

1. Проверьте, что векторы , , , образуют базис в и найдите координаты вектора в этом базисе.

2. Найдите какую-нибудь однородную систему двух линейных уравнений, которая имеет следующую фундаментальную систему решений: , , .

3. В базисе оператор имеет матрицу . Найдите его матрицу в базисе , , .

4. Найдите все собственные значения матрицы ,

их алгебраические и геометрические кратности. Задает ли эта матрица оператор простой структуры?

Задание 24.

1. Докажите, что если элементарные преобразования строк, которыми данная невырожденная матрица приводится к единичной матрице, в том же порядке применить к строкам единичной матрицы, то в результате получится обратная матрица .

2. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки , , в пространстве .

3. В естественном базисе найдите матрицу оператора , переводящего векторы , в векторы , соответственно.

Дата добавления: 2015-11-13