Кривые и поверхности второго порядка. 1 страница

Классификация кривых второго порядка на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат. Основные свойства кривых второго порядка. Свойство середин параллельных хорд кривой второго порядка. Классификация и основные свойства поверхностей второго порядка, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Варианты зачетных заданий.

Задание 1.

1. Докажите, что для любого подпространства линейного пространства найдется дополнительное подпространство, т.е. такое подпространство , что . Единственным ли образом определено дополнительное подпространство для данного ?

2. Совместна ли система уравнений? Если система уравнений совместна, то найдите какое-либо её частное решение; найдите общее решение.

3. – координаты элемента , а оператор задан своим действием в базисе . Найдите его матрицу . .

4. Найдите базис ортогонального дополнения к подпространству, натянутому на векторы , , в . , , .

Задание 2.

1. Найдите линейную оболочку системы многочленов .

2. Найдите в многочлен , удовлетворяющий условиям , .

3. Докажите, что всякий линейный оператор линейно зависимую систему векторов переводит снова в линейно зависимую.

4. – ортонормированный базис. В базисе оператор имеет матрицу . Найдите матрицу сопряжённого оператора в базисе . Найдите матрицу оператора в базисе

Задание 3.

1. Найдите число операций умножения и число операций сложения при перемножении -матрицы и -матрицы .

2. Найдите условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точек , , лежали на одной прямой в плоскости .

3. Докажите, что существует единственный оператор , переводящий векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу этого оператора в паре базисов и . Найдите матрицу этого оператора в естественном базисе . Найдите образ вектора .

,

4. Является ли оператор , , оператором простой структуры?

Задание 4.

1. Докажите, что в линейном пространстве многочленов всех степеней система элементов, состоящая из конечного числа многочленов разных степеней и не содержащая нуля, линейно независима.

2. Докажите, что в ортонормированном базисе евклидова пространства размерности все векторы фиксированной гиперплоскости удовлетворяют уравнению , где . Какой смысл имеют коэффициенты ?

3. В базисе найдите матрицу оператора проектирования трёхмерного пространства на параллельно .

4. Постройте ортогональный базис подпространства в , натянутого на векторы , , . , , .

Задание 5.

1. Докажите, что в пространстве множество всех чётных многочленов ( для всех ) является подпространством. Найдите какое-нибудь подпространство, дополнительное к нему.

2. Совместна ли система уравнений? Если система уравнений совместна, то найдите какое-либо её частное решение; найдите общее решение.

3. – координаты элемента , а оператор задан своим действием в базисе . Найдите его матрицу . .

4. и – две нормы в линейном пространстве ; выясните, будет ли нормой в заданная функция аргумента : .

Задание 6.

1. Систему многочленов дополните до базиса пространства .

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. Докажите, что поворот трехмерного пространства на угол вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями , является линейным оператором, и найдите матрицу этого оператора в базисе из единичных векторов осей координат.

4. В базисе пространства билинейная форма имеет вид . Найдите её выражение в естественном базисе , .

Задание 7.

1. Проверьте, что система элементов образует базис пространства . Проверьте, что система элементов образует базис пространства . Найдите координаты многочлена в каждом из этих базисов.

2. Плоскость в линейном пространстве определена направляющим подпространством и вектором сдвига , плоскость – направляющим подпространством и вектором сдвига .Докажите, что в том и только в том случае, если и .

3. Выясните, подобны ли матрицы и . Если и подобны, найдите матрицу подобия. Однозначно ли определена матрица подобия? .

4. Скалярное произведение векторов и в задано формулой . Постройте ортонормированную систему векторов, эквивалентную данной линейно независимой системе векторов , , , ортогонализуя её.

Задание 8.

1. Докажите, что подпространство тогда и только тогда является прямой суммой подпространств , когда пересечение каждого из подпространств , с суммой остальных подпространств состоит только из нулевого вектора.

2. Пусть фиксированы число и элемент евклидова пространства. Докажите, что множество всех элементов этого пространства, удовлетворяющих условию , является гиперплоскостью. Найдите её направляющее подпространство. При каком указанная гиперплоскость сама является подпространством?

3. Докажите, что ортогональное проектирование трехмерного пространства на ось, образующую равные углы с осями прямоугольной системы координат, является линейным оператором, и найдите его матрицу в базисе единичных векторов координатных осей.

4. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы .

Задание 9.

1. Вычислите определитель, пользуясь только определением:

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. – прямая сумма. Отображение каждому элементу , где , , ставит в соответствие элемент . (Такое отображение называется проектированием пространства на подпространство параллельно подпространству .) Выясните, является ли отображение линейным оператором.

4. Дана матрица линейного оператора в ортонормированном базисе . Найдите ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора и его матрицу в этом базисе. Однозначно ли определен искомый базис?

Задание 10.

1. Составьте базис пространства из многочленов степени . Существует ли в базис, не содержащий ни одного многочлена степени ?

2. Совместна ли система уравнений? Если система уравнений совместна, то найдите какое-либо её частное решение; найдите общее решение.

3. Линейное пространство является прямой суммой подпространств и . Пусть , , и – невырожденные операторы. Оператор совпадает с на и с на . Докажите, что – невырожденный оператор.

4. Квадратичную форму приведите к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием переменных с треугольной матрицей (методом Якоби).

Задание 11.

1. Найдите матрицу перехода от базиса к базису в пространстве .

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей и в .

3. Докажите, что существует единственный оператор , переводящий векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу этого оператора в паре базисов и . Найдите матрицу этого оператора в естественном базисе . Найдите образ вектора .

.

4. Пусть – линейное подпространство евклидова пространства . Докажите, что любой вектор можно представить, причем единственным образом, в виде , где и . Вектор называется ортогональной проекцией вектора на подпространство , а – перпендикуляром, опущенным из на . Найдите способ вычисления и для заданных подпространства и вектора .

Задание 12.

1. Найдите число операций умножения при вычислении произведения . Зависит ли число этих операций от расстановки скобок: ?

2. Докажите, что если пересечение гиперплоскостей -мерного евклидова пространства не является пустым множеством, то оно представляет собой плоскость размерности , где – наибольшее число линейно независимых векторов в системе .

3. Выясните, подобны ли матрицы и . Если и подобны, найдите матрицу подобия. Однозначно ли определена матрица подобия? .

4. Докажите, что в ортонормированных базисах евклидова пространства и только в таких базисах, скалярное произведение двух любых векторов и выражается через их координаты формулой .

Задание 13.

1. Докажите, что -матрица перестановочна со всеми -матрицами в том и только в том случае, если – скалярная матрица.

Дата добавления: 2015-11-13